C++ 半平面交

概述

“半平面交集”算法是一种几何方法，用于计算多维区域内一个或多个半平面的交集。半平面是指通过一条直线在数学几何中划分的飞机的一侧，该直线充当边界。在诸如凸包构建、线性规划和计算机图形学等领域，经常会出现计算平面 1/2 交集的问题。

在 C++ 中实现半平面交集算法有许多简单的步骤。首先，每个 1/2 平面都表示为一个线性各向异性，通常由直线方程和方向 向量 定义。该集合对这些半平面根据边界的方向进行排序，并确保其操作避免冲突，然后使用平面扫描技术或对偶变换迭代计算交点。该算法的主要任务是有效处理平面段重叠或无冲突的情况，这需要仔细的几何假设和复杂的计算。

C++ 非常适合这类算法，因为它通过标准模板库 (STL) 和 Boost Geometry 等库能够高效地处理计算几何任务。该算法依赖于独特的浮点数数学来计算交点并确定半平面的方向。

性质

C++ 中的“半平面交集”算法展示了许多关键特性，使其成为计算几何中的强大工具。这些特性既与算法的数学原理相关，也与其在 C++ 中的实际实现相关，有助于确保其在解决复杂几何问题中的效率和可靠性。

保持凸性

半平面交集算法最基本的特性之一是它能保持凸性。在计算多个半平面的交集时，生成的区域通常是一个凸多边形（或者在没有共同交集时可能是空的）。这是因为每个半平面都定义了一个凸区域，而凸集的交集也是凸的。此特性在诸如 线性规划 等应用中非常重要，在这些应用中，可行区域被表示为更高维空间中的凸多面体。

数值稳定性

C++ 提供了高精度数学的访问权限，这对于半平面之间交点的精确计算至关重要。然而，必须设计算法来处理数值不稳定性，特别是当直线几乎平行时，或者当交点发生在浮点数精度边界附近时。在算法中要特别注意避免因浮点数数学导致的错误，例如使用强大的几何谓词来检查共线性或几乎平行的直线。

效率和复杂度

半平面交集算法的设计旨在实现高效，在典型情况下，时间复杂度为 O(nlog⁡n)O(n log n)O(nlogn)，其中 n 是半平面的数量。通过仔细排序和处理半平面可以实现这种效率。在 C++ 中，使用标准模板库 (STL) 中的高效数据结构，如向量和双端队列，来存储和操作边界线和生成的 the polygon vertices。根据半平面相对于参考方向的夹角进行排序，可以保证它们按顺序处理，从而最大限度地减少不必要的计算。

处理边缘情况的灵活性

该算法还设计用于处理各种边缘情况，例如，当半平面之间没有共同交集时，或者当交集形成一个无界区域时。在这种情况下，C++ 允许使用条件逻辑和强大的数据结构来检查这些情况并做出相应的响应。例如，如果交集形成一个无界多边形，算法可以识别这一点并输出一个说明无界边的表示，通常通过指示解是无穷大或未定义来表示。

几何直觉和方向排序

半平面交集算法的一个重要组成部分是它依赖于几何直觉。每个 1/2 平面由一条直线和一个表示飞机被包含的一侧的法向向量定义。在 C++ 中，对这些 1/2 平面进行方向排序是为了确保它们按一致的顺序处理，从而降低结果不一致的风险。此排序步骤是简化交集过程的关键，因为它允许算法系统地处理每个 1/2 平面，并以有序的方式检查交集。

总之，C++ 中的“半平面交集”算法具有保持凸性、数值稳定性、效率和处理边缘情况的灵活性等特性。这些特性使得该算法非常适合计算几何、优化和图形学等领域的应用，在这些领域需要精确高效的交集计算。

示例

让我们举一个例子来说明 C++ 中的半平面交集算法。

输出

 
Intersection points: 
(0, 1)
(0, 1)   

说明

半平面交集问题找到由多个半平面交集形成的区域。半平面是平面上被直线分割的一部分，它由一个线性不等式表示，例如 Ax+By+C≥0Ax + By + C \geq 0Ax+By+C≥0，其中直线一侧的点满足此不等式。

关键组件

• Point 结构：Point 结构表示具有 x 和 y 坐标的二维平面上的点。它对于存储和操作直线相交的点至关重要。
• Line 结构：Line 结构使用线性方程 Ax+By+C=0Ax + By + C = 0Ax+By+C=0 的一般形式来定义一条直线。该结构还计算直线的角度以便于排序。点 p1 和 p2 表示直线上的任意两个点，允许我们计算其在二维平面上的方向。onLeft 方法检查给定点是否位于直线的左侧，这对于确定半平面是否包含该点至关重要。

算法解释

1. 按角度排序：程序首先按逆时针方向按角度对所有直线进行排序。这是必需的，因为它确保我们以逻辑顺序遍历半平面，类似于计算凸包时处理边的方式。
2. 处理直线：排序后，使用双端队列 (deque) 应用扫描线算法。此双端队列维护构成半平面交集边界的活动直线集。
3. 处理半平面：在处理每条直线时，我们只保留仍然构成交集多边形的直线。这是通过检查当前直线集的交点是否仍然位于正在处理的新直线定义的半平面内来完成的。不再与该区域相交的直线将被删除。
4. 两条直线的交点：为了计算两条直线在哪里相交，我们使用行列式公式。如果两条直线平行（即它们的行列式为零），则它们不相交，因此将被忽略。否则，我们计算交点，然后将其添加到构成交集区域的点的列表中。
5. 最终交集：处理完所有直线后，算法会检查剩余的直线是否仍然形成有效的交集。收集交点，如果有效，它们将代表构成半平面交集的 the polygon 的顶点。

几何解释

在示例输入中

• 第一条直线是 x+y≥1x + y \geq 1x+y≥1，它将平面分割，使得直线以上和右侧的点有效。
• 第二条直线，-x+y≥1-x + y \geq 1-x+y≥1，再次分割平面，将有效区域限制在左上方。
• 第三条直线，y≥0y \geq 0y≥0，通过强制所有点位于 x 轴上方，进一步限制了该区域。

这些半平面的交集形成了一个三角形区域，其顶点为 (0,1)(0, 1)(0,1)、(1,0)(1, 0)(1,0) 和 (−1,0)(-1, 0)(−1,0)，由程序输出。

“C++ 半平面交集”的复杂度

半平面交集问题涉及确定满足多个线性不等式的平面区域，其中每个不等式代表一个半平面。在计算几何中，挑战在于高效地计算这些半平面的交集，这些交集可以形成一个凸多边形，或者根本不存在区域（当不存在共同交集时）。半平面集合的交集具有广泛的应用，包括解决线性规划问题、裁剪多边形以及计算机视觉等领域的图形计算。

在 C++ 中，解决半平面交集问题通常需要了解几何算法，特别是涉及凸多边形和高效数值方法的算法。该问题的复杂性取决于所使用的算法和半平面的数量。一种常见的方法采用几何特性和扫描线算法或凸包技术。

时间复杂度

对于典型的实现，半平面交集可以在 O(n log n) 时间内解决，其中 n 是半平面的数量。这是通过根据角度对半平面进行排序，然后使用凸包方法有效地确定交集来实现的。排序步骤主导了复杂度，而实际的交集计算（可能涉及迭代消除半平面）在大多数情况下是与平面数量成比例的。

算法概述

第一步是根据法向向量的角度对半平面进行排序。排序后，通常使用双端队列 (deque) 来维护半平面的交集。双端队列可以有效地删除冗余的或不构成最终交集的半平面。在处理新半平面时，算法会检查潜在的不一致性或删除交集中不必要的部分。这种方法确保在存在解的情况下，以最佳时间计算出解。

结论

总之，计算几何中的半平面交集问题涉及找到一组半平面的交集。半平面是二维空间中一条直线一侧的区域，多个半平面的交集定义了一个凸多边形，或者可能导致一个空区域。这个问题在计算机图形学、线性规划和地理信息系统等领域有许多应用，在这些领域确定可行区域或边界形状至关重要。

在 C++ 中，解决半平面交集问题需要仔细考虑几何特性和数值精度。通常，算法首先将每个半平面表示为线性不等式，然后系统地计算这些半平面的交集。按角度对半平面进行排序并应用平面扫描或增量算法是用于有效计算交集区域的常用技术。实现这些算法涉及处理边缘情况，如平行线和无界区域，并确保浮点精度错误不会损害结果的正确性。

这些算法的性能很大程度上取决于半平面的数量和交集区域的复杂性。虽然半平面交集的高效算法的最坏情况时间复杂度为 O(nlog⁡n)O(n \log n)O(nlogn)，其中 n 是半平面的数量，但仔细处理几何计算和退化情况对于在实际实现中保持鲁棒性和效率至关重要。

总之，在 C++ 中解决半平面交集问题不仅需要理解底层几何理论，还需要将其转化为高效且精确的代码。通过正确的算法方法，如平面扫描或增量方法，以及对数值精度的仔细处理，可以有效地解决这个问题。在 C++ 中掌握这些技术为解决更复杂的计算几何问题打开了大门，并使其能够应用于空间数据和优化至关重要的实际场景。