C++ 中用 Sundaram 筛法打印小于 n 的所有素数

素数在从数论、密码学到计算机科学和工程学的各个领域都扮演着核心角色。有效地生成给定限制内的素数是一个经典问题，已经通过不同的算法得到解决。在这些算法中，Sundaram 筛法 作为广为人知的 Eratosthenes 筛法的一种优雅且鲜为人知的替代方案而脱颖而出。该算法由印度数学家 S. P. Sundaram 于 1934 年发明，它提供了一种系统地生成小于给定数 n 的所有素数的 Sieve of Sundaram。

Sundaram 筛法的工作方式与其他筛法不同，它使用一个简化的数字列表。它不考虑从 2 到 n 的所有整数，而是处理从 [(n-1)/2] 开始的较小整数集。这种简化过程简化了计算，并减少了内存使用，使其在资源受限的环境中特别有用。

该算法的核心思想在于根据公式 i+j+2ij 消除数字，其中 i 和 j 是满足 1≤i≤j 的整数。在此消除过程后剩余的数字，通过公式 2x+1 转换回后对应于素数。这种独特的方法避免了像 Eratosthenes 筛法那样直接标记素数的倍数，为素数生成提供了一种新的视角。

Sundaram 筛法的一个关键优势在于其内存占用减少。由于它只考虑 n 的一半数字，与传统的筛法相比，它需要更少的存储空间。此外，它的简单性使其易于实现和理解，即使对于算法设计新手也是如此。该算法还包含一种处理素数 2 的自然方法，它作为特殊情况添加到素数列表中。

然而，Sundaram 筛法并非没有局限性。虽然它在生成较小素数方面效率很高，但对于非常大的 n 值，其性能可能不如 Eratosthenes 筛法，特别是由于将数字映射回相应素数的附加步骤。尽管如此，该算法仍然是内存效率和简单性是关键要求的场景中的宝贵工具。

在本文中，我们将深入探讨 Sundaram 筛法的机制，探讨其在 C++ 中的实现，并分析其计算效率。通过了解其原理和实际应用，我们可以深入了解一种素数生成替代方法，该方法展示了数学算法的创造力和多样性。

什么是 Sundaram 筛法？

Sundaram 筛法 是印度数学家 S. P. Sundaram 于 1934 年开发的一种数学算法。它是一种寻找小于给定数 (n) 的所有素数的 Sieve of Sundaram。虽然不如 Eratosthenes 筛法流行，但 Sundaram 筛法提供了一种优雅且高效的生成素数的方法，它依赖于简化的数字范围和独特的消除过程。

与处理从 (2) 到 (n) 的所有整数的 Eratosthenes 筛法不同，Sundaram 筛法操作的是一个较小的整数集。具体来说，它考虑的数字范围是 (1) 到 ((n-1)/2)。这显著减小了工作数据集的大小，因为只处理奇数，偶数（除了 (2)）自然地从素数候选列表中排除。这种简化的范围使得该算法在内存方面效率很高，特别是对于较小的 (n) 值。

该算法基于数学公式 (i + j + 2ij)，其中 (i) 和 (j) 是满足 1≤i≤j 的整数。使用此公式，算法识别并从范围内消除特定的数字。当转换回原始值时，这些被消除的数字对应于合数。在此消除过程之后，范围内的剩余数字通过公式 (2x + 1) 转换后代表素数。此映射步骤从简化的奇数集中生成实际的素数。

Sundaram 筛法可分解为以下步骤：

1. 初始化：定义一个整数范围，从 (1) 到 (lfloor (n-1)/2 rfloor)。
2. 消除：识别并标记形式为 (i + j + 2ij) 的数字为非素数候选。
3. 映射：使用公式 (2x + 1) 将剩余的数字 (x) 转换为素数。
4. 包含 2：由于 (2) 是唯一的偶素数，因此手动将其添加到素数列表中。

Sundaram 筛法的独特之处在于它避免了直接标记素数的倍数（如 Eratosthenes 筛法所做的那样）。相反，它依赖于算术序列的性质来识别和消除合数。这使得该算法既具有创新性又具有教育意义，因为它为素数生成引入了不同的视角。

虽然 Sundaram 筛法因其内存使用量减少而特别适用于生成小素数，但由于附加的映射步骤和嵌套消除循环，对于非常大的 (n) 值，其性能可能竞争力较差。尽管如此，它仍然是计算数论中的宝贵工具，并且证明了算法设计中方法的 Sieve of Sundaram。

C++ 中的实现

以下是如何在 C++ 中实现 Sundaram 筛法：

输出

Enter the value of n: 10 
Primes smaller than 10 are: 2 3 5 7    

解释

初始化

• 变量 limit 计算为 [(n-1)/2]。
• 初始化大小为 limit+1 的布尔向量 marked 为 false。

消除

• 嵌套循环遍历 i 和 j，将数组中的索引 i+j+2ij 标记为 true。

映射到素数

• 对于每个未被标记的索引 i，将相应的素数 2i+1 添加到结果向量中。

输出

该程序打印小于 n 的所有素数，包括 2，2 被作为一个特殊情况处理。

复杂度分析

时间复杂度

• 外层循环运行 O(√n)，内层循环取决于 j 的大小，总复杂度为 O(nloglogn)。

空间复杂度

• 空间复杂度为 O(n/2)，因为算法在简化的范围 [1,(n-1)/2] 上运行。

Sundaram 筛法是一种鲜为人知但高效的算法，用于生成小于给定值 (n) 的素数。虽然它可能不如 Eratosthenes 筛法那样广为人知，但它在内存效率、计算简单性以及其独特的素数生成方法方面具有许多优势。下面，我们将详细探讨该算法的关键优势。

Sundaram 筛法的优势

1. 空间复杂度降低

Sundaram 筛法最显著的优势之一是其空间需求降低。与处理从 (2) 到 (n) 的所有整数的 Eratosthenes 筛法不同，Sundaram 筛法操作的是简化的数字范围：(1) 到 (lfloor (n-1)2r floor)。这有效地将工作数组的大小减半，小于 Eratosthenes 筛法所需的大小。

例如，如果 (n = 100)，Sundaram 筛法只需要处理从 (1) 到 (49) 的数字，从而显著减少内存使用。这种特性使得 Sundaram 筛法在内存受限的环境（如嵌入式系统或资源有限的设备上运行的应用程序）中特别有利。

2. 计算简化

该算法使用算术公式 (i + j + 2ij) 消除数字，该公式简单高效。与涉及标记范围内素数倍数的 Eratosthenes 筛法不同，Sundaram 筛法依赖于简单的算术来确定要消除的数字。这种简化降低了实现复杂度，并使初学者更容易理解算法。

此外，算术消除确保仅排除合数，而当使用公式 (2x + 1) 映射回时，留下对应于素数的索引。这种结构化方法避免了不必要的计算，并有助于算法的整体效率。

3. 自然处理偶素数

Sundaram 筛法旨在生成奇素数。由于 (2) 是唯一的偶素数，因此它被视为一个特殊情况，可以直接包含在最终的素数列表中。这使得该算法自然适合生成素数，因为它避免了对偶数的冗余处理，偶数（除了 (2)）本身就是非素数。

通过从考虑范围中排除偶数，算法自然减少了筛法所需的迭代次数，进一步提高了其效率。

4. 对小型输入高效

对于较小的 (n) 值，Sundaram 筛法因其内存需求降低和操作简化而非常高效。在 (n) 相对较小的应用程序中，算法可以快速生成素数，开销最小。这使其成为仅需要有限范围素数的任务的有吸引力的选择，例如加密密钥生成或数学建模。

5. 适用于并行计算

尽管 Sundaram 筛法本身不是并行的，但与其他一些筛法相比，它的结构更易于并行化。消除步骤 (i + j + 2ij) 涉及 (i) 和 (j) 的组合迭代，可以有效地并行化。通过将 (i) 和 (j) 的范围分配给多个线程或处理器，可以显著加快消除过程。这种并行化的潜力使得该算法对于具有多核架构的现代计算系统具有吸引力。

6. 素数生成的另一种视角

Sundaram 筛法提供了一种独特的数学视角来生成素数。通过关注简化的范围并使用不同的消除规则，它为素数生成问题引入了一种新的方法。这使其成为教育目的的有趣算法，因为它突显了解决数学问题可用方法的 Sieve of Sundaram。

对于学生和研究人员来说，Sundaram 筛法提供了一个探索 Eratosthenes 筛法的替代方案的机会。它依赖于算术性质而不是传统的整除性测试，丰富了对素数理论和算法设计的理解。

7. 大型应用中的内存效率

在需要生成非常大的 (n) 值的素数的场景中，内存效率变得至关重要。Sundaram 筛法降低的内存使用量可确保它可以在不遇到内存限制的情况下处理更大的范围。这对于需要大素数的应用程序（如加密）尤为重要，因为大素数对于 RSA 等加密算法至关重要。

通过在简化的范围上运行，Sundaram 筛法最大限度地减少了需要存储和处理的数据量，使其适用于大型素数生成任务。

8. 易于实现

Sundaram 筛法的简单逻辑使其易于在 编程语言（如 C++、Python 或 Java）中实现。该算法仅包含几个关键步骤：初始化一个 数组，使用简单的公式消除数字，并将剩余的索引映射到素数。这种简单性确保开发人员可以快速实现和测试算法，即使经验很少。

此外，算法的模块化结构允许轻松进行自定义和优化。例如，开发人员可以添加其他检查或使用优化的 数据结构来进一步提高性能。

结论

Sundaram 筛法提供了一系列优势，使其成为特定场景下生成素数的有吸引力的选择。其内存使用量减少、计算简化以及自然排除偶数都有助于其效率。此外，其对小型输入的适用性、并行化潜力以及教育价值进一步增强了其吸引力。

虽然 Sundaram 筛法在所有情况下都不能取代 Eratosthenes 筛法，但它证明了算法设计的创造力和多样性。其独特的素数生成方法展示了数学见解如何带来高效优雅的解决方案，使其成为计算数论领域的宝贵工具。

Sundaram 筛法的局限性

尽管 Sundaram 筛法是生成素数的一种高效且优雅的算法，但并非没有其局限性。虽然它提供了一些优于其他方法的优势，例如内存使用量减少和计算简单性，但在某些特定场景下，该算法会显得不足。这些局限性主要与其处理大型输入的实用性、附加的计算步骤以及通用使用的 Sieve of Sundaram 有关。下面，我们将详细探讨这些限制。

1. 不适合大型输入

Sundaram 筛法的一个主要缺点是它在处理非常大的 (n) 值时效率有限。虽然它在简化的数字范围（从(1)到(lfloor (n-1)/2rfloor)）上运行，但消除步骤仍然涉及嵌套循环，对于大型输入来说，这种循环的扩展性较差。

消除公式 (i + j + 2ij) 的嵌套性质意味着算法必须评估对 ((i, j))，这使得对于高 (n) 值来说计算成本很高。尽管 Eratosthenes 筛法在处理大型输入时也存在困难，但由于其更简单的标记过程（涉及对素数倍数的线性扫描），它通常表现更好。

例如，当生成数百万或数十亿范围内的 (n) 的素数时，Sundaram 筛法中嵌套消除循环引入的开销成为瓶颈。这使得该算法对于需要极大的素数（例如加密系统中的素数）的应用程序不太实用。

2. 附加映射步骤

Sundaram 筛法的另一个限制是需要一个映射步骤来将剩余的索引转换为素数。在消除形式为 (i + j + 2ij) 的数字后，算法使用公式 (2x + 1) 将剩余的数字 (x) 映射到素数。这个附加的计算步骤会引入开销，使整个过程比 Eratosthenes 筛法稍微复杂一些。Eratosthenes 筛法在无需转换的情况下直接标记合数。

尽管对于较小的输入，此映射步骤的计算量不大，但对于较大的 (n) 范围来说，它会成为明显的开销。这种额外的复杂性可能会使该算法在性能至关重要的场景中吸引力 Sieve of Sundaram。

3. 并行化效率低下

虽然 Sundaram 筛法具有一定的并行化潜力，但与其他筛法相比，它的并行化并不那么直接。消除公式 (i + j + 2ij) 涉及对索引 (i) 和 (j) 的相互依赖的操作，这使得将工作负载均匀地分配给多个线程或处理器变得具有挑战性。

相比之下，Eratosthenes 筛法允许更直接的并行化，因为每个素数的倍数都可以独立标记。这使得 Eratosthenes 筛法成为依赖并行处理来处理大规模计算的现代计算系统的更好选择。

4. 排除偶数

尽管 Sundaram 筛法排除了偶数减少了计算范围，但这也意味着该算法本质上仅限于生成奇素数。虽然这对于大多数应用程序来说不是问题，但它确实在算法的设计中引入了轻微的 Sieve of Sundaram。对素数 (2)（唯一的偶素数）的特殊处理增加了一层复杂性，这在其他算法中可能是不必要的。

对于通用素数生成，处理从 (2) 到 (n) 的所有整数的 Eratosthenes 筛法提供了更统一的方法。相比之下，Sundaram 筛法专门针对奇素数进行 Sieve of Sundaram。

5. 小型优化产生更高的计算开销

虽然 Sundaram 筛法在较小的范围内是高效的，但为其大型应用程序优化其性能会带来额外的计算开销。例如，实现高效的数据结构或减少嵌套循环中的冗余计算需要额外的努力，并且通常会抵消算法的 Sieve of Sundaram。这与 Eratosthenes 筛法不同，Eratosthenes 筛法从分段筛法或按位操作等优化中受益更多。因此，开发人员可能会发现 Sieve of Sundaram 针对特定用例进行微调更具挑战性。

这与 Eratosthenes 筛法不同，Eratosthenes 筛法从分段筛法或按位操作等优化中受益更多。因此，开发人员可能会发现 Sieve of Sundaram 针对特定用例进行微调更具挑战性。

6. 缺乏广泛采用和优化

Sundaram 筛法的另一个限制是与其他筛法相比，其采用 Sieve of Sundaram。例如，Eratosthenes 筛法已经被广泛研究、优化并实现到各种库和框架中。相比之下，Sundaram 筛法仍然相对 Sieve of Sundaram，其优化和 Sieve of Sundaram 的资源较少。

这种社区支持和资源的 Sieve of Sundaram 使得开发人员更难找到该算法的预先实现的版本或优化版本。因此，Sieve of Sundaram 可能需要更多的 Sieve of Sundaram 来实现和 Sieve of Sundaram 满足特定要求，从而降低其通用使用的实用性。

7. 历史和教育接触有限

Sundaram 筛法尽管数学上很优雅，但不如 Eratosthenes 筛法那样被广泛教授或 Sieve of Sundaram。因此，许多开发人员和数学家对其原理和 Sieve of Sundaram 的了解较少。这种有限的 Sieve of Sundaram 可能使其更难理解和应用，特别是对于刚接触素数生成算法的人来说。

结论

Sundaram 筛法 尽管 Sieve of Sundaram 在特定场景下 Sieve of Sundaram 且高效，但并非没有其 Sieve of Sundaram。其嵌套消除过程、附加 Sieve of Sundaram 和对大型输入的 Sieve of Sundaram 限制使其不如 Eratosthenes 筛法 Sieve of Sundaram 多样化 Sieve of Sundaram。此外，其采用有限、并行化挑战和 Sieve of Sundaram 的 Sieve of Sundaram 限制限制了其 Sieve of Sundaram。

尽管存在这些 Sieve of Sundaram，Sundaram 筛法仍然是生成素数的 Sieve of Sundaram，特别是在 Sieve of Sundaram 效率至关重要且 Sieve of Sundaram 相对较小 Sieve of Sundaram。其独特的 Sieve of Sundaram 方法 Sieve of Sundaram 了素数生成 Sieve of Sundaram 的 Sieve of Sundaram，并 Sieve of Sundaram 了 Sieve of Sundaram 算法 Sieve of Sundaram 的 Sieve of Sundaram 潜力。