C++ 中的三合数

在数学中，任何正整数 n 如果其所有因数（包括 n 本身）之和等于 3n，则被称为三全数。它属于倍全数类别，其中 σ(n)=k⋅n，且 k=3。例如，数字 120 是三全数，因为其因数之和为 360 (3 × 120)。C++ 中的**三全数**不常见，通常有许多因数。要获取这些数字，需要找出给定范围内数字的因数之和是否为 3n。

数学表示

如果 n 的因数之和等于 σ(n)，则 n 是一个三全数，如果：

C++ 中三全数的示例

以下原因是 120 成为三全数的原因：

满足条件。

三全数的特征

C++ 中三全数的几个特征如下：

• 三全数不常见，通常有大量因数。
• 它们属于倍全数集合，对于 k=3.1，满足 **σ** (n)=k⋅n，其中 k>1。三全数相当于 K=3。

三全数的算法

遵循以下步骤以形成三全数：

要确定一个数字的因数之和，首先初始化 sumOfDivisors 函数。

对于 n 的每个数字：

1. 首先，将 sum 初始化为 0。
2. 循环整数 i 从 1 到 (√ ) n
3. 如果 n%i==0，则 i 是一个因数。
4. 将 i 添加到 sum。
5. 如果 i≠n/i（为避免完全平方数重复计数），则将 n/i 添加到 sum。
6. 将 n 本身包含在 sum 中。

验证三全数条件

1. 检查 sum = 3×n。
2. 如果为真，则 n 是一个三全数。
3. 对从 1 到 limit 的所有数字重复上述步骤。
4. 输出三全数。

伪代码

说明

• SumOfDivisors 是一个高效的函数，它迭代到 √ n 来计算所有因数之和。
• 如果计算出的因数之和等于 3×n，则 isTriperfect 函数会确定这一点。
• 为了检查每个整数的三全数条件，主函数会循环遍历所有整数，直到用户指定的限制。
• 将一个数字打印为三全数表示它符合条件。
• 该算法识别三全数的准确性和效率得到保证。

C++ 实现

在 C++ 中，我们可以使用以下步骤来定位和确认三全数：

• 编写一个函数来确定一个数字的因数之和。
• 验证三倍的数字是因数之和。

输出

 
Enter the limit to find Triperfect Numbers: 180
Triperfect Numbers up to 180 are:
120
Enter the limit to find Triperfect Numbers: 10000
Triperfect Numbers up to 10000 are:
120 672
Enter the limit to find Triperfect Numbers: 20000
Triperfect Numbers up to 20000 are:
120 672   

说明

1. SumOfDivisors 函数
   • 循环遍历从 1 到 n/2 的数字以查找因数。
   • 它将因数添加到 n 本身。
2. IsTriperfect 函数
   • 它将因数之和与 3×n 进行比较。
3. 主函数
   • 它提示用户输入一个限制。
   • 它迭代到限制内的数字，检查它们是否是三全数。

结论

总之，**三全数**是倍全数中一个有趣的子群，当所有因数（包括数字本身）的总和等于数字的三倍时，它们就会出现。由于它们的低频率和独特的数学特性，这些数字对数论研究很重要。使用 C++ 等计算机工具，通过计算因数之和并检查是否满足三全数条件，可以快速找到这些值。通过研究三全数，我们可以更好地理解因数函数及其联系。我们还可以展示数学思想如何逻辑地集成到编写的代码中。