C++ 埃及分数贪心算法

引言

埃及分数是一种通过单位分数之和来表示有理数的方法，其中分子为 1。在他们的象形文字中，古埃及人采用这种技术来表示分数。古埃及分数总是唯一的；因此，没有两个分数是相同的。

在本文中，我们将讨论埃及分数问题，然后解释如何用 C++ 构建一个贪婪算法，该算法可以确定给定有理数是否可以表示为埃及分数。

问题陈述

给定一个有理数 n/d，其中 n 是分子，d 是分母，将该分数表示为不同的单位分数之和。

例如，我们以 4/7 为分数。 4/7 = 1/2 +1/14 的埃及分数表示。

贪婪算法

贪婪算法是一种解决问题的方法，它优先考虑做出最佳的即时选择，希望以此获得整体最优化的结果。这种方法涉及在每个阶段选择最有利的选项，而不考虑潜在的未来后果。目标是在每一步最大化结果，假设这种策略将导致最有利的整体解决方案。

用于确定埃及分数的贪婪算法基于一个简单的原理：在每次迭代中，选择小于剩余真分数（proper fraction）的最大可行单位分数。

使用贪婪算法有以下步骤。

贪婪算法步骤

1. 得到一个空的“结果”；我们从 0 开始。
2. 获取最大的单位分数：在此步骤中，我们将找到每个步骤中不大于给定分数的单位分数。它可以通过计算剩余分数的倒数的向上取整来计算。这意味着我们将 1 除以剩余分数，然后四舍五入到最接近的整数。
3. 将单位分数添加到结果中：找出最大的单位分数后，将其添加到我们的结果列表中。
4. 更新剩余分数：从分子中减去它，并将结果乘以分母，以消除在上述第二步中发现的信息。
5. 持续进行，直到没有更多剩余。应该这样做，直到没有更多剩余。

程序

让我们举一个例子来说明 C++ 中埃及分数的贪婪算法。

输出

Enter the numerator: 4
Enter the denominator: 7
Egyptian Fraction Representation: 1/2 + 1/14

说明

用户输入将构成埃及分数的分子和分母。

• findEgyptianFraction() 函数：此函数以一对分子和分母作为输入，并返回一个包含所有可以构成埃及分数的单位分数的向量。它实现了上述贪婪算法。
• printEgyptianFraction() 函数：此函数还接收一对分子和分母，使用 findEgyptianFraction() 查找埃及分数表示，然后以 1/x + 1/y + ... 的形式显示它。
• 在 Main() 函数中，我们要求用户输入他们的分子和分母。
• 它调用 printEgyptianFraction() 函数来查找并显示用户给定的分数的埃及分数。

时间和空间复杂度

• 时间复杂度：该算法的时间复杂度为 O(d)，其中 d 是给定的任何分母。因为它们与更大的分母成正比，所以对于更大的分母需要更多的迭代。
• 空间复杂度：此困难涉及为称为常量的变量提供额外的存储空间。其空间复杂度为 O(d)，此外还需要足够的内存分配来反映我们使用埃及分数输出的结果。

贪婪算法的优点

贪婪算法有几个优点。贪婪算法的一些主要优点如下：

1. 效率：贪婪算法通常在时间复杂度方面具有效率，尤其是与蛮力或穷举搜索方法相比。它在每一步都做出局部最优选择，从而得到一个通常接近最优的解。
2. 简单性：贪婪算法在实现和理解方面都相当简单。它们遵循一种直接的最佳选择方式，因为它们会继续进行，而不考虑整个系统。这种级别的简单性使其对不同专业水平的程序员都易于使用。
3. 空间复杂度：通常，贪婪算法比其他方法需要更少的空间。这类算法倾向于不存储大量数据或使用复杂的数据结构，从而有效地利用内存。
4. 某些情况下的最优性：贪婪算法不总是全局最优的，尽管它们可用于获得某些特定问题的最优性。对于埃及分数，贪婪算法通常会产生一个近似值，该值接近于使用可能的最少单位分数的最优表示。
5. 增量解决方案构建：贪婪算法通过在每个阶段做出局部最优的选择来渐进地构建解决方案。例如，如果可能将问题分解为可以独立解决的更小子问题，那么这种增量方法可能很有用。

贪婪算法的缺点

贪婪算法有几个缺点。贪婪算法的一些主要缺点如下：

1. 不保证完美：在某些情况下，贪婪算法无法给出全局最优解。它们可能会错过一个更好的整体解决方案，因为它们在每一步都做出正确的局部移动，而需要放弃眼前的收益来换取长远的利益。
2. 局部选择的依赖性：贪婪算法严重依赖于这样的前提，即在任何给定点选择最有利的选项将产生最佳的全局结果。然而，对于所有具有复杂依赖关系或约束的问题，这并不成立。
3. 回溯困难：一旦它在操作过程中随机选择选项时犯了错误，它就无法轻易地从那里返回并纠正它们。当早期做出的不可逆转的决定导致次优或无效的结果时，就会观察到这种限制。
4. 对输入顺序敏感：在贪婪算法中考虑的元素或选择的顺序会极大地影响其输出。即使输入顺序发生微小变化，也可能导致截然不同的结果，从而在一定程度上使算法的行为变得不可预测。

结论

总之，我们研究了埃及分数问题，然后使用了用 C++ 编写的贪婪算法来寻找任何给定有理数的埃及分数表示。这些是古埃及人在记谱法中使用过的不同的单位分数，它们提供了一种独特的表示有理数的方式。贪婪算法通过在每个时期获取可能的最大单位分布，直到没有剩余，从而快速获得表示。时间和空间复杂度分析突出了该过程的实用性和资源需求。本质上，这次探索让我们对埃及分数历史上的重要性有所阐释，同时也演示了贪婪算法如何在现实世界的计算机编程情况中得到应用。