C++ Dinic 算法

在本文中，您将学习 C++ 中的 Dinic 算法及其步骤、关键概念、示例、优点和缺点。

什么是 Dinic 算法？

一种名为 Dinic 算法的图方法，它确定流网络内的最大流量。对于某些类型的流网络，它提供了比采用 Edmonds-Karp 实现的 Ford-Fulkerson 方法更优越的时间复杂度。

算法步骤

1. 初始化：初始化时，从 零流量开始。
2. 构建层次图：使用 BFS，确定残余图中每个节点与源之间的最短路径，以构建层次图。
3. 查找阻塞流：使用 DFS（深度优先搜索）在层次图中查找增广路径。重复此过程，直到没有更多的增广路径可用。
4. 更新流量：使用步骤 3 中发现的增广路径更新流量。
5. 重复步骤 2-4，直到没有增广路径可用，这表明已达到最大流量。

关键概念

1. 增广路径：在残余图中，增广路径是一条允许从源到汇推动额外流量的路径。Dinic 方法使用 BFS（广度优先搜索）来查找增广路径。
2. 阻塞流：阻塞流是源到汇的边不相交的增广通道。Dinic 方法迭代地构建一个阻塞流，每次迭代都会增加从源到汇的总流量。
3. 流网络：流网络是一个有向图，其中每条边可以流过的最大流量由其容量表示。在网络中，节点是源和汇，流量从源推送到汇，同时遵守边的容量。
4. 残余图：Dinic 方法使用残余图，该图显示了原始图中每条边在某些流量通过后还剩下多少容量。

时间复杂度

对于一般图，Dinic 方法的时间复杂度为 "O(V^2 * E)"；对于二分匹配，其时间复杂度为 "O(min(V^(2/3), E^(1/2)) * E)"，其中 V 和 E 分别是顶点和边的数量。由于其效率，该算法在多种流网络中表现尤其出色。

示例

让我们举一个例子来说明 C++ 中的 Dinic 算法。

输出

80

优点

• Dinic 算法在实践中比 Ford-Fulkerson 方法更有效，特别是对于具有稀疏容量的图。
• 它确保首先考虑最短的增广路径，从而实现更快的收敛。

局限性

• Dinic 方法假设边的容量为整数。对于分数容量，可能需要缩放策略。
• 它不直接支持负边权重。但是，可以通过修改来扩展它以处理它们。