C++ McCreight 算法

本文将讨论 C++ 中的 McCreight 算法，包括其历史、实现以及其他相关内容。

McCreight 算法简介

McCreight 构建后缀树的方法是一种重要的方法。后缀树是一种用于字符串处理和模式匹配的数据结构。它由 Edward M. McCreight 于 1976 年创建。该算法能够快速为给定的字符串构建后缀树，从而实现对字符串的快速子串搜索和其他操作。

问题陈述

McCreight 算法要解决的问题是如何为给定的字符串 S 构建后缀树。后缀树显示了 S 的所有可能的后缀，并可用于轻松查找子串、最长公共子串以及其他与字符串相关的操作。任务是高效地完成此操作，以便这些操作所需的时间最少。

McCreight 算法的历史

1976 年，Edward M. McCreight 在一篇题为“一种节省空间的后缀树构建算法”的文章中发布了他的技术。该方法的主要意义在于其能够在线性 O(n) 时间复杂度内构建后缀树，其中 n 指的是输入字符串 S 的长度。这被认为是开创性的，因为先前的方法效率较低，通常需要 O(n^2) 的时间。

Weiner (1973) 和 Ukkonen (1995) 的工作为后缀树的构建奠定了基础，McCreight 在此基础上进行了发展。为了在保持空间使用与 n（输入字符串的大小）成比例的同时仍能实现线性运行时间，他们受到这些思想的启发，开发了一种 O(n) 时间的算法。

什么是后缀树？

后缀树是一种树状数据结构，它表示给定长度为 n 的字符串 S 的所有后缀。从根节点到任何叶节点的每一条唯一路径都对应一个这样的后缀。

后缀树可以有效地解决各种字符串问题，如子串搜索、最长公共子串或模式匹配，但在 McCreight 发明之前，快速构建大字符串的后缀树很困难。

McCreight 算法的应用

一种名为 McCreight 的算法用于以线性时间构建后缀树。该算法首先使用简单的表示，然后逐步添加后缀，同时保持树的属性。

以下是 McCreight 算法的总体概述：

• 第一阶段：首先，根据字符串 S 的前两个字符创建一棵树。后缀树在此基础上构建。
• 第二阶段：逐个将 S 的下一个字符添加到树中。在每个阶段更新树，使其表示已处理子串的所有后缀。
• 更新树结构：采用活动点和结束点概念，在保留后缀树属性的同时高效添加新后缀。此步骤包括根据当前处理的后缀更新和遍历树的结构。
• 时间复杂度 O(n)：McCreight 算法以线性时间运行，即 O(n)，其中 n 代表输入字符串 S 的长度。为了确保这种效率，通过使用隐式后缀链接和活动点来避免不必要的重新遍历。

McCreight 算法的 C++ 实现

要用 C++ 实现 McCreight 算法，我们应该定义表示后缀树的必要数据结构，然后遵循上述步骤。下面是一个概述：

• 数据结构：它包含节点、边和后缀树本身的数据结构。
• 树构建：应实现树的初始构建，包括扩展阶段。
• 更新树结构：动态更新函数，用于在添加新后缀的同时保持其属性，如上所述。
• 效率考虑：确保算法相对于输入大小？能高效地以线性时间运行。
• 效率考虑：确保算法相对于输入大小？能高效地以线性时间运行。

示例

让我们以一个例子来说明 C++ 中的 McCreight 算法。

输出

Suffix tree construction completed.
Suffix Tree:
ROOT
 [0, 6]
 [1, 1]
  [2, 3]
   [4, 6]
   [6, 6]
  [6, 6]
 [2, 3]
  [4, 6]
  [6, 6]
 [6, 6]

说明

1. 数据结构
   
   • treenode：后缀树中的一个节点，具有指向其子节点、父节点和后缀链接的指针，以及表示它所代表的子串的起始和结束位置的索引。
   • node_point：由节点起始和结束索引表示的后缀树中的一个点。
2. Jumpdown 函数 (jumpdown)
   
   • 接收起始节点、点 beta 和输入字符串 T 作为输入，并确定 jump-down 操作的结束位置。
   • 它通过根据 T 中的字符选择适当的子节点来向下遍历树。
3. Walkdown 函数 (walkdown)
   
   • 类似于 jumpdown，但如果需要，可能涉及分割边。
   • 在向下遍历时，将输入字符串 T 中的字符与树的边 s 进行匹配。
   • 如果在边的某个点发生不匹配，则将该边分割成两部分。
4. 后缀树构建 (build_suffix_tree)
   
   • 它从输入字符串 T 构建后缀树。
   • 在此过程中会初始化根节点和叶节点。
   • 使用 Jump-downs/walk-downs 将后缀插入树中。
5. 打印后缀树 (printSuffixTree)
   
   • 递归打印给定后缀树的所有节点。
   • 它从根节点开始，遍历每个子节点直到到达叶节点，然后再次回溯，打印起始/结束索引。
6. 主函数
   
   • 它初始化输入字符串 T。
   • 它使用 build_suffix_tree 构建后缀树。
   • 它使用 printSuffixTree 打印构建的后缀树。

时间和空间复杂度

• McCreight 算法是一种旨在以 O(n) 时间为长度为 n 的字符串创建后缀树的算法。这通过以高效的方式处理字符串的每个字符，并借助活动点和结束点的想法动态更新后缀树结构来实现线性时间复杂度。
• McCreight 算法的空间复杂度通常被认为是 O(n)，其中 n 代表输入大小。就输入字符串的长度而言，这意味着它使用的空间与其成比例；这对于在构建过程中（后缀表示）记录已完成的操作是必需的。

结论

总之，McCreight 算法通过提供以前不存在的线性时间解决方案，极大地改进了后缀树的构建方式。它还极大地提高了字符串处理能力，并使高级文本算法更容易实现。因此，这种方法在许多实际应用中至关重要，因为它支持各种模式匹配技术，尤其是在处理包含它们的字符串或文件时；从而使我们能够高效地解决广泛领域的计算问题。