C++ 欧拉四平方数定理

2025 年 3 月 24 日 | 4 分钟阅读

在本文中，我们将讨论欧拉四平方和恒等式及其在 C++ 中的实现。

什么是欧拉四平方和恒等式？

根据欧拉四平方和恒等式，每个正整数都可以写成四个完全平方数的和，有时也称为欧拉二次型恒等式。18 世纪的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉证明了这一定理。

在欧拉四平方和恒等式中，存在整数 w、x、y 和 z，使得

num = w^2+x^2+y^2+z^2，其中 “num” 是一个正整数。

解决欧拉四平方和恒等式的典型算法方法是遍历四个整数（表示为 w、x、y 和 z）的每种可能组合，并确定它们的平方和是否等于指定的整数“num”。该方法展示了如何利用数学理论来高效地设计算法。在 C++ 中，它通过嵌套循环和条件检查来实现。

此外，广泛使用的欧拉四平方和恒等式是加密技术（例如 RSA（Rivest-Shamir-Adleman）加密）的要求。由于欧拉四平方和恒等式提供了关于数字如何由平方和组成的信息，因此无论分解大整数的难度如何，RSA 的加密策略都保持安全。

示例

让我们举一个例子来说明 C++ 中的欧拉四平方和恒等式。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
vector<vector<int>> EulerFourSquareIdentity(int num) 
{
    vector<vector<int>> Combinations;
    for(int j = 0; j * j <= num; j++)
    {
        for(int k = j; k * k <= num; k++)
        {
            for(int l = k; l * l <= num; l++)
            {
                for(int m = l; m * m <= num; m++)
                {
                    if(j * j + k * k + l * l + m * m == num)
                    {
                        Combinations.push_back({j, k, l, m});
                    }
                }
            }
        }
    }
    return Combinations;
}
void PrintEulerFourSquareIdentity(const vector<vector<int>>& Combinations)
{
    for(const auto& x : Combinations)
    {
        cout << "The four squares of given number are : ";
        for(int q = 0; q < 4; q++)
        {
            cout << x[q] << "^2";
            if(q < 3) cout << " + ";
        }
        cout << endl;
    }
}
int main()
{
    int n;
    cout << "Enter a Positive Number: ";
    cin >> n;
    cout << "The Combinations of " << n << " as the sum of four squares:\n";
    vector<vector<int>> squares = EulerFourSquareIdentity(n);
    PrintEulerFourSquareIdentity(squares);
    return 0;
}

输出

Enter a Positive Number: 545
The Combinations of 545 as the sum of four squares:
The four squares of given number are : 0^2 + 0^2 + 4^2 + 23^2
The four squares of given number are : 0^2 + 0^2 + 16^2 + 17^2
The four squares of given number are : 0^2 + 1^2 + 12^2 + 20^2
The four squares of given number are : 0^2 + 2^2 + 10^2 + 21^2
The four squares of given number are : 0^2 + 5^2 + 6^2 + 22^2
The four squares of given number are : 0^2 + 5^2 + 14^2 + 18^2
The four squares of given number are : 0^2 + 8^2 + 9^2 + 20^2
The four squares of given number are : 0^2 + 8^2 + 15^2 + 16^2
The four squares of given number are : 0^2 + 10^2 + 11^2 + 18^2
The four squares of given number are : 1^2 + 12^2 + 12^2 + 16^2
The four squares of given number are : 2^2 + 6^2 + 8^2 + 21^2
The four squares of given number are : 2^2 + 6^2 + 12^2 + 19^2
The four squares of given number are : 3^2 + 4^2 + 6^2 + 22^2
The four squares of given number are : 3^2 + 4^2 + 14^2 + 18^2
The four squares of given number are : 3^2 + 6^2 + 10^2 + 20^2
The four squares of given number are : 3^2 + 12^2 + 14^2 + 14^2
The four squares of given number are : 4^2 + 6^2 + 13^2 + 18^2
The four squares of given number are : 6^2 + 8^2 + 11^2 + 18^2
The four squares of given number are : 6^2 + 12^2 + 13^2 + 14^2
The four squares of given number are : 8^2 + 9^2 + 12^2 + 16^2

说明

在此示例中，我们将找到欧拉四平方和恒等式，它表明每个正整数都可以写成四个整数平方和。 EulerFourSquareIdentity 函数迭代四个数字（j、k、l 和 m）的组合，直到这些整数的平方和等于输入 "num"。这些组合包含在向量的向量中。 PrintEulerFourSquareIdentity 函数通过遍历向量的向量并相应地格式化结果来打印每个发现的四个平方数的组合。在用户在主函数中输入数字后，使用先前指定的函数呈现正整数的四个平方数表示之和。

结论

总之，欧拉四平方和恒等式是计算实践和数学理论之间深刻联系的证据。通过在 C++ 中对其进行探索，我们将更深入地理解该定理，并深入了解其算法含义和实际应用。随着欧拉的遗产世代相传，欧拉四平方和恒等式在数学和计算领域也持续具有重要意义。

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