在 C++ 中使用旋转卡尺方法查找坐标平面上两点之间的最大距离

在计算几何学广阔的领域中，在数字和数学原理的交汇处，存在着令人难以置信的丰富且引人入胜的问题需要探索和解决。最基本的问题是，从两点开始，确定坐标系上两点之间的最大坐标距离。这种简单工具的作用在机器人、计算机图形学、地理信息、图像处理等领域非常广泛。

想象一下，您被布置了任务，要在工业工厂中优化传感器的定位以实现最高的覆盖范围。也许您正在创建一个游戏环境，其中的角色需要以最短的时间覆盖大片区域。在这两种情况下，首先理解并最终确定两点之间长度的尺寸都至关重要。

• 修改卡尺系统就此登场，它相当复杂但又美观，该系统正是为精确完成这项任务而创建的。卡尺测量长度和尺寸的物理概念是该方法的基础。在数学上，它利用这些原理来查找集合中两点之间的最大距离。
• 首先，旋转卡尺法简单而有效。该方法通过凸包（计算几何学中的一个基本概念）进行操作，通过缓慢而稳定地旋转假想的卡尺，从区域的一端到另一端，最终测量最远的地点及其之间的距离。

在本文中，我们将深入探讨 CPME（旋转卡尺法），并了解其理论和实践基础。C++ 是一种功能强大且稳定的语言，将用于将这些抽象概念编码成 Herons 可以运行的命令。

在本次探索中，我们将重点关注凸包的基础知识、卡尺旋转的机制以及如何逐步应用这些来确定两点之间的最大距离。在此过程中，您将经历多个步骤，从阅读算法的伪代码到实际实现。我们希望到您完成时，您将拥有应对未来任何几何问题的信心。

理解旋转卡尺法

旋转卡尺法不仅是计算几何学中一个基本且熟悉的方法，而且它为许多几何问题提供了大量解决方案，尤其是那些计算凸包中点或边之间的最小或最大距离的问题。本质上，这个系统基于一个概念框架，该框架涉及使用可移动的臂，这些臂类似于用于测量尺寸和距离的实际卡尺中所找到的。

• 在旋转卡尺法中，卡尺围绕由一组点使用计算几何学生成的假想凸包旋转。凸包是几何分析中的一个基本概念，它是能够包围点集中每个点的最小凸多边形。该算法采用凸包方法，通过系统地旋转沿着凸包边缘对齐的卡尺来遍历整个区域，并找到给出最大分离的两点对，从而有效地计算出来。
• 旋转卡尺法的优点是效率高且简单。另一方面，利用凸包可以实现快速、无冗余的操作，无需耗时的成对距离计算。该程序通过利用卡尺并近似地旋转它们，有效地找到了最远的点并确定了它们之间的最大范围。
• 在学习旋转卡尺法之前，必须理解凸包及其在几何计算中的应用。具有给定平面形状顶点的最小多边形有时被称为凸包、凸包络或凸闭包。卡尺法包括其主要思想源于凸包的过程和程序。

此外，旋转卡尺法在环境变化方面表现出色，为除最大距离之外的各种几何问题提供了解决方案。将此技术用作许多计算几何问题（例如确定直径参数和最小包围矩形或后者）的基础，可以认为是非常有效的。

示例 1

输出

Enter the number of points: 3
Enter the coordinates of each point (x y):
3 -3
4 6
-1 3
Maximum Distance: 9.05539

解释

此 C++ 应用程序计算平面上一组 n 个点之间任意两点之间的最大距离。该计算机使用旋转卡尺法，这是一种更精细的方法，而不是比较两对点，从而找到最大距离。

• 接下来，应用程序加载必要的库（iostream、vector、cmath、algorithm 和 iomanip）。然后，它将 dist 函数定义为两点之间的平方距离。该函数仅返回给定坐标对之间的平方距离。
• 在此之后，软件应用了一个名为 **旋转卡尺法** 的函数，该函数被开发为 maxDist 函数，它返回任意两点之间的最大距离。该方法将坐标对值的数组和点的数量作为参数。将 Max 设置为初始值 0 后，它会逐一遍历每对点，并将其与某些两点测量值的平方进行比较。如果超过 Max 值，则取新的 Max 范围，即 Max 负平方距离。最后一步是取 Max 的平方根：任何两点之间的距离，如果它们之间的距离是所有其他距离中最大的。
• 该程序的主要目标是以定义一个名为 n 的变量开始，我们将用它来存储点的总数。程序的输入允许用户键入分数，然后将其存储在 n 中。程序创建的名为 point 的向量包含每个点的坐标。该应用程序要求用户输入所有选定点的坐标，这些坐标存储在所有点的向量中。
• 之后，通过 maxDist 函数，我们将点向量和点的数量作为输入，计算机计算任意两点之间可以保持的最大距离。变量 max_distance 是该函数将返回的最大距离。
• 最后，通过 Romania 库，应用程序显示结果，保留五位小数。完成后，该过程将返回 0，表示已成功执行。
• 凸包形成和卡尺旋转过程可以用作 C 编程语言中旋转卡尺法的补充，该方法确定坐标系中两点之间的最大距离。

示例 2

输出

Enter the number of points: 3
Enter the coordinates of each point (x y):
3 -3
4 6
-1 3
Maximum Distance: 9.05539

解释

此 C++ 应用程序采用了旋转卡尺法，这是一种复杂的几何技术，用于计算平面上一组给定的 n 个点中任意两点之间的最大距离。它采用了与毕达哥拉斯定理相关的公式，而不是逐一计算每个节点的距离。

• 最初，程序运行要使用的库，包括 iomanip、vector、cmath、iostream 和 algorithm。两点之间的平方距离被计算为 dist 值，随后将其调用为函数。
• 接下来，代码讨论了旋转卡尺法，然后创建了一个函数来在 maxDist 中执行计算。此函数接收坐标对数组和点的数量作为输入。将点对发送进来，并计算与名为 Max 的初始变量的平方差。
• 将另一个名为 Max 的变量初始化为 0。在发现新的最大平方距离时，它会在每个平方米上进行监控。Max 的平方根，代表斜边的长度，是最终结果。
• 在进入程序的主部分之前，会要求用户输入点的总数 (n)。所有点的坐标随后存储在名为 points 的向量中。用户应该输入所有坐标，这些坐标存储在 points 向量中，并输入到选定的点中。
• 然后，软件提供了一个确定任意两点之间最大距离的函数。该函数接收构成向量的点和点的数量作为参数。在这里，未知变量 max_distance 返回结果。
• 接下来，它使用 Romania 库演示了结果，保留五位小数。完成后，它将返回 0 并打印最终值。
• 此外，该代码的最新版本集成了 Jarvis March 算法，该算法将生成输入点的凸包。该方法通过计算凸包来提高效率，因为只计算一个凸包，从而消除了计算所有点的需要。

旋转卡尺法的优点

• 必须强调旋转卡尺法的效率是其相对于竞争对手的一个优势。我们使用最近点方法来检查集合中两点之间的最大距离。与基于逐一比较每对点的算法的蛮力方法不同，旋转卡尺方法利用凸包等几何标准来简化此过程。该算法通过利用以相反方向绕凸包旋转的两个卡尺线来找到凸包上的最远点。这样，该算法可以完美地适应对执行速度有要求的场景，例如处理大型数据集和实时操作。
• 旋转卡尺法与其他处理氟化物缺乏症的方法一样，是一种多用途的治疗方法。奥地利方法的主要目的是提供两点之间的最大距离，也可用于解决其他几何问题。它不仅可以进行距离计算，还可以帮助您计算点云直径或最小包围矩形等特征。由于其适应性，旋转卡尺法在几何计算频繁使用的各种领域（如计算机图形学、机器人学、地理信息系统和图像处理）中具有重要意义。
• 该算法必须具有高度的准确性，而旋转卡尺法是能够提供准确结果的方法之一。该算法通过建立基于凸包等几何概念和卡尺长度计算的方法来关注基本几何元素，从而提高了结果的准确性和可靠性。这种精度对于需要科学模拟和导航系统的环境非常重要，在这些环境中，微小的差异可能是决定性的并导致问题。

旋转卡尺法的缺点

• 尽管旋转卡尺法有优点，但它也有一个问题。BCMS 的一个主要缺点是使用了凸包计算，这反过来又增加了计算的复杂性。为了构建凸体，定位凸包的极限点集是至关重要的，即使对于大型点分布，这也是一个高度计算性的问题。这种计算成本会影响整个算法的运行时间，尤其是在时间效率很重要的情况下。
• 修改后的共旋转卡尺法的一个症结在于它无法处理退化情况。虽然卡尺法在凹点或平点的情况下可能有用，但在检测凸包中的凹陷方面不太准确。算法的鲁棒性和可靠性取决于这些边缘情况的处理程度，因此可能需要更多的预防措施，也许还需要预处理阶段。退化情况在距离估计中的无效实现可能导致方法不准确并影响其适用性。
• 此外，尽管旋转卡尺法的概念提供了一种确定最大距离的方法，但根据问题的具体情况，此方法并不总是最佳选择。在有其他简单或复杂的解决方案可用且计算效率不是首要关注点的情况下，很可能会选择替代方法。因此，在决定解决几何问题的软件时，主要关注点是衡量其复杂性、准确性和实用性。

实际应用

• 自动化和机器人
  称为旋转卡尺的模拟模型有助于机器人中的碰撞检测和运动规划。机器人系统使用上述两个原理来最大化到物体表面的点对点距离，从而确保手臂运动既无碰撞又高效。通过此服务，客户可以在制造和物流领域获得更高的生产力和自动化。
• 计算机图形学和图像处理
  三维形状测量、物体识别和模式识别是应用旋转卡尺方法的三个案例。在另一种情况下，通过使用手写符号的关键点距离，算法将能够区分特定字母/符号。例如，光学字符识别 (OCR) 和生物识别功能也由传感器提供支持。
• 地理信息系统 (GIS)
  GIS 的应用领域包括地形建模、路线优化和边界划定，这些都是通过旋转卡尺法实现的。这被封装在一个原则中，即您应该从中心向外规划您的城市，使用 Map 1 和 Map 2 之间的最后一段距离来确定基础设施开发和应急服务定位的位置。在确保公共安全和开发整合上述要素的城市的同时，实现了可持续性。
• 精准农业
  农产品产量下降的变异性和最佳种植计划通过旋转卡尺法进行衡量。通过检查土壤湿度传感器之间的空间尺寸或作为样本采集的作物样本，农民可以检测出湿度水平密集分布的局部区域，并相应地调整灌溉或施肥处理。这种方式可以更有效地利用所有资源，并提高产量。
• 建筑设计和城市规划
  旋转卡尺法在城市设计和城市规划领域中用于区域测绘和建筑选址过程。建筑师可以考虑场地兴趣点（如设施或特征）之间的距离，通过此方法使建筑物与其环境对齐，并最大化视野、日照和可达性。另一方面，生态友好型城市的概念有助于建设以人为本的可持续环境。

理论分析和复杂性考量

• 时间复杂度
  问题集中的点以及执行的凸包计算的复杂性是决定旋转卡尺法运行时间的两个因素。时间复杂度的粒度遵循凸包计算算法的使用，例如常用的 Jarvis March 和 Graham's scan。Jarvis March 的复杂度为 O(nh)，其中 h 是凸包上的点数，而 Graham's scan 的复杂度为 O(n log n)，其中 n 是点的数量。尽管存在这种困难，但旋转卡尺法（尤其是对于计算大型数据集）比其他更复杂的方法更能直接获得最大距离。
• 空间复杂度
  用于凸包表示和描述输入点集的结构可能决定了旋转卡尺法的空间复杂度。数组或向量经常用作输入的指针集，其空间复杂度为 O(n)，其中 n 是输入点的数量。凸包计算的空间复杂度取决于使用的结构和技术。然而，算法的权重各不相同；有些可能与样本集的维数成比例，而另一些可能需要额外的内存来存储辅助数据结构。
• 理论基础
  研究旋转卡尺法的几何方面和数学背景有助于我们阐述其理论基础。它通过最远点、卡尺旋转和某些几何算法等方法来实现两点之间的长距离。掌握这个理论脊梁可以帮助我们理解算法的行为方式及其在不同情况下的精度。
• 性能特征
  算法的选择和优化将基于对旋转卡尺法性能的分析。对研究人员或从业者所需的时间和空间复杂度的深入了解，可以帮助他们决定它是否适用于不同的问题场合，还可以设计技术来提高其效率和可扩展性。旋转卡尺法是计算几何学中的一个优秀工具，它为各种几何问题提供了可行且有用的解决方案，尽管其计算部分非常复杂。

结论

总之，旋转卡尺法在计算几何学中具有相当大的优势。该工具的主要优点之一是它能够为查找坐标平面上点之间的最大距离提供有效的解决方案。由于其完全依赖于凸包和卡尺旋转等几何概念，提高了准确性和灵活性，因此它有可能在许多环境中得到应用。技术复杂性和处理退化情况的能力是一些被提出的问题，这些问题可能需要额外的处理时间和仔细的考虑。该方法在解决几何问题上的优势在于它可以快速完成，并且即使在其缺点为人知晓的情况下仍然可以使用。员工随后可以理解该方法的优点和缺点，并选择在适当的时间和地点应用它，这将最终提高他们在执行尺寸计算和解决问题方面的能力。