C++ std::hermite, std::hermitef, std::hermitel

引言

C++ 是一种强大的编程语言，拥有丰富的标准库，其中包含各种用于数学计算的函数和实用程序。特殊数学函数是这些实用程序中的一部分，其中包括厄米特多项式。厄米特多项式在量子力学、概率论和数值分析等领域很重要。为了方便计算这些多项式，C++ 引入了三个函数——std::hermitef、std::hermitel 和 std::hermite。

本文将从它们的使用以及解决问题的目的出发，对这三个函数进行考察，以便我们能够一起分析它们的语法和参数规范，以及一些常见的实际应用示例。

问题陈述

厄米特多项式是许多数学模型和计算的重要组成部分。然而，手动计算这些多项式的过程可能会非常繁琐且容易出错，尤其是在涉及高次多项式的情况下。在 C++ 中，为了需要一种能够高效计算厄米特多项式的精确方法，才引入了 std::hermite 函数。这些函数是为了在 C++ 中计算精确的厄米特多项式而设计的，并且它们也考虑了不同的数据类型。

C++ 中有三个可用的函数用于计算厄米特多项式。第一个函数使用默认的双精度，称为 std::hermite，C++ 标准库用它来计算厄米特多项式。这些函数根据输入类型进行划分，并在调用时返回一个浮点值。

厄米特多项式简介

物理学、概率论和数值分析领域也利用了厄米特多项式。它们使用递归公式来求解常微分方程，特别是那些由厄米特方程描述的方程。Hn(x) 表示一个 n 次的厄米特多项式。

因此，这组正交多项式表现出一些特定的特征和迭代关系。

理解 std::hermite, std::hermitef, 和 std::hermitel

C++ 标准库提供了三个独立的函数来计算厄米特多项式

• std::hermite：此函数默认使用双精度计算厄米特多项式。
• std::hermitef：它是 std::Hermite 的一个变体，但改用单精度数字。
• std::hermitel：它使用 long double 精度——这意味着它将更精确但计算效率较低。

这些函数允许进行模板化，以便在编程阶段灵活选择不同数据类型以获得更高的精度控制。

语法

每个函数都有以下基本语法

• double std::hermite(unsigned n, double x);
• float std::hermitef(unsigned n, float x);
• long double std::hermitel(unsigned n, long double x);

参数

• n：厄米特多项式的阶数。它必须是非负整数。
• x：评估厄米特多项式的点。

返回值：厄米特多项式 Hn(x) 的值。

示例用法

程序 1

让我们通过一个简单的 C++ 程序示例来探索这些函数的用法

如下面的代码片段所示，在点 x=2.0x 处计算 3 阶厄米特多项式时，使用了不同类型的精度。每种精度的结果将在输出中提供。

输出

 
Hermite polynomial (double precision): 40
Hermite polynomial (float precision): 40
Hermite polynomial (long double precision): 40   

说明

1. 包含头文件

• #include <iostream>：包含标准输入输出流库，用于使用 std::cout 将结果输出到控制台。
• #include <cmath>：包含数学函数和常量。但是，<cmath> 头文件不直接提供厄米特多项式的函数。

2. Main 函数

• unsigned n = 3;：初始化一个无符号整数 n 为 3，表示厄米特多项式的次数。
• double x = 2.0;：初始化一个双精度浮点变量 x 为 2.0，即评估厄米特多项式的点。

3. 计算和输出

• 双精度计算
  
  • double result_d = std::hermite(n, x);
  • 这是计算次数为 n、在点 x 处的厄米特多项式的行，使用双精度。然而；标准 C++ 库不包含 std::hermite 函数。要计算厄米特多项式，您需要使用特殊库或编写自己的函数。
• 浮点精度计算
  
  • float result_f = std::hermitef(n, static_cast<float>(x));
  • 这是尝试以浮点精度计算厄米特多项式的行。同样，此构建将失败，因为它不将 std::hermitf 识别为其函数之一。
• 长双精度计算
  
  • long double result_l = std::hermitel(n, static_cast<long double>(x));
  • 这是尝试以 long-double 精度计算厄米特多项式。同时，此函数也不在标准库中。

程序 2

输出

 
Hermite polynomial (double precision): 40.0000000000
Hermite polynomial (float precision): 40.0000000000
Hermite polynomial (long double precision): 40.0000000000   

说明

1. 函数定义
   
   • hermite(unsigned n, double x)：使用递归关系计算次数为 n、在点 x 处的厄米特多项式。此函数处理双精度计算。
   • hermitef(unsigned n, float x)：通过转换双精度函数的返回值来以浮点精度计算厄米特多项式。
   • hermitel(unsigned n, long double x)：通过转换双精度函数的返回值来以 long double 精度计算厄米特多项式。
2. 精度处理
   
   • std::fixed 和 std::setprecision(10)：这些 I/O 操纵符确保输出采用定点表示法，具有 10 位小数精度。
3. 主函数
   
   • 定义多项式的次数 (n) 和评估点 (x)。
   • 使用不同的精度级别计算厄米特多项式并输出结果。

应用和用例

厄米特多项式有多种应用

• 在量子力学中，它们用于模拟量子谐振子的波函数。
• 数值分析：数值积分方法（如高斯求积）使用厄米特多项式。
• 概率论：在正态分布中，这些多项式涉及埃奇沃思级数展开。

std::hermite、std::hermitef 和 std::hermitel 函数是 C++ 语言特定的，可以随时随地使用它们进行编程，确保这些编程的多项式能正常工作并提供精确的结果（如果需要）。

结论

总之，C++ 标准库的 std::hermite、std::hermitef 和 std::hermitel 函数提供了强大的工具来计算具有不同精度级别的厄米特多项式。了解它们用法和差异的开发人员可以在需要时使用单精度、双精度或扩展精度有效地将这些功能添加到他们的程序中。

通过这些开发者的帮助，可以节省大量原本会反复出现的计算错误的时间；因此，在大量使用厄米特多项式的情况下，这一点尤为重要。