如何选择最佳线性回归模型

引言

线性回归是一种最简单但也是最有效的预测建模和确定若干自变量与因变量之间关系的统计技术。它属于参数回归模型家族，其假设是自变量和因变量之间存在线性关系。

线性回归最简单的形式是用一条直线来拟合一组数据点。通过计算能够最小化模型预测值与观测值之间差异的系数（斜率和截距）的值，来确定这条直线。这些系数可以使用最大似然估计（MLE）或普通最小二乘法（OLS）来估计。

线性回归中选择模型的方法

• 前向选择

该方法从一个空模型开始，一次添加一个预测变量，同时评估模型的性能，直到满足预定的标准，例如贝叶斯信息准则（BIC）或赤池信息准则（AIC）。

• 逐步回归（向后消除法）

与前向选择不同，该方法从包含所有预测变量的模型开始，然后逐个删除最不显著的预测变量，直到满足停止条件。

• 逐步选择（向前选择）

该过程结合了向后消除和向前选择的优点。它根据预测变量的重要性程度，在添加和删除预测变量之间交替进行，直到满足停止条件。

• 最佳子集选择

使用预定的标准，拟合所有可能的预测变量组合，并选择与数据最匹配的模型。尽管该方法保证能找到最佳模型，但在处理大量预测变量时，计算量可能会非常大，尤其是在追求准确性方面。

• 正则化策略

像 Ridge 回归和 Lasso 回归这样的技术通过对预测变量施加惩罚来缩小它们的系数。通过有效地控制多重共线性并防止过拟合，这些过程可以改进模型选择的流程。

• 信息准则

像赤池信息准则（AIC）和贝叶斯信息准则（BIC）这样的准则会惩罚模型的复杂性，并提供模型拟合的量化评估。信息准则值越小的模型，数据拟合得越好。

• 交叉验证

通过将数据集分成多个子集，交叉验证方法（如 k 折交叉验证）可以评估模型在不同数据划分上的性能。这有助于评估模型的泛化能力，并选择具有最佳样本外预测精度的模型。

线性回归的类型包括

• 简单线性回归：简单线性回归是最基本的线性回归类型，其中一个自变量预测一个因变量。一条直线用于表示因变量和自变量之间的关系。
• 多元线性回归：在多元线性回归中，多个自变量预测一个因变量。该模型可以同时考虑多个预测变量的影响，但关系仍然是线性的。
• 多项式回归：通过拟合一个多项式函数而不是直线来拟合数据，多项式回归扩展了线性回归的概念。通过这样做，可以捕捉因变量和自变量之间的非线性关系。
• Ridge 回归是一种线性回归，它包含一个正则化项来惩罚较大的系数。通过减小系数的值，可以减少过拟合和多重共线性。
• Lasso 回归：该技术类似于 Ridge 回归，但它使用参数的绝对值而不是它们的平方来添加正则化项。通过将某些系数强制设为零，Lasso 回归可以进行变量选择并生成稀疏模型。
• 广义最小二乘法：当普通最小二乘法（OLS）分析的同方差性和误差独立性条件被打破时，使用广义最小二乘法（GLS）回归。与 OLS 相比，它更灵活，因为它可以模拟误差的协方差结构。
• 加权最小二乘法（WLS）：WLS 根据每个观测值的可靠性或相对重要性为其分配权重。当误差方差在观测值之间变化时，此方法可能很有用。
• 非线性回归：尽管严格来说不是线性回归，但非线性回归仍然是一种回归类型，其中使用非线性函数来表示因变量和自变量之间的关系。这使得捕捉线性模型无法捕捉的复杂关系成为可能。

选择理想模型的技巧

• 调整 R 方：检查模型的相应调整 R 方值。调整 R 方会惩罚过于复杂的模型，因为它考虑了模型中变量的总数。更高的调整 R 方值表示更好的模型拟合。
• AIC 和 BIC：使用贝叶斯信息准则（BIC）和赤池信息准则（AIC）等信息准则来比较模型。这些准则在模型复杂性和拟合优度之间取得了平衡。值越低表示模型越好。
• 交叉验证：使用 k 折交叉验证等交叉验证技术来评估模型在未见数据上的性能。检查多个模型在不同折上的平均性能。这有助于评估模型在新数据上的泛化能力。
• 残差分析：分析每个模型的残差，即观测值与预测值之间的差异。寻找可能表明模型错误指定的残差模式，例如异方差性或非线性。
• 识别异常值：识别可能对模型性能产生不成比例影响的影响点和异常值。如果需要，考虑稳健回归方法或删除异常值。
• 变量选择：使用后向选择、前向选择、逐步选择或正则化（例如 Ridge、Lasso、Elastic Net）等策略来选择最显著的预测变量并防止过拟合。
• 比较不同算法：如果适用，将线性回归方法与其他回归方法（如决策树和支持向量机）进行比较，以确定哪种方法最适合手头的数据集和情况。
• 集成方法：使用集成技术（例如 bagging、boosting）组合多个回归模型或类似的回归算法，以最大化它们的联合预测能力并提高整体性能。