全局优化简介

全局优化旨在找到问题所有可行解中的最佳解。它寻求找到全局最优解，即在满足所有限制条件和目标标准的情况下，产生最理想结果的解。本指南将介绍全局优化的最佳实践、策略和技术。

全局优化重要性

全局优化指的是在函数的定义域内寻找函数的全局最小或最大值，确保在所有可行函数中的最优行为。

• 能够找到可能的最佳解，而不是局部最优解，这在非线性问题中至关重要。
• 在工程设计优化等领域，最佳参数可实现最佳效率和安全性，从而改进决策和系统行为。
• 应用领域经济和金融建模可以识别最大化利润或最小化风险的解决方案系统或策略。
• 在科学研究中，可以可靠地、稳健地获得解决方案，并且结果不依赖于人为的初始条件或局部搜索方向。

全局优化中的重要术语和概念

为了理解全局优化，需要熟悉一些基本概念和术语。以下是其中最重要的概念：

• 目标函数：你的目标是最大化或最小化一个函数。它代表你试图解决的问题，例如成本、准确性或距离。

例如：f(x)=x^2+4x+4

• 全局最小值/最大值：全局最小值是指目标函数在整个定义域内达到的最低值。在整个定义域内的最高点也称为全局最大值。

全局最小值：对于定义域内的所有 x，有 𝑓(x∗) ≤ 𝑓(x)。

全局最大值：对于定义域内的所有 x，有 𝑓(x∗) ≥ 𝑓(x)。

• 局部最小值/最大值：局部最小值是指函数值小于其附近值时的点。局部最大值也同理。如果优化算法不是全局探索的，可能会陷入这些陷阱。
• 搜索空间：用于优化的所有潜在输入值的定义域或集合。它可以是连续的或离散的，有界的或无界的。
• 约束：这是解决方案需要满足的限制或要求。约束可以是等式约束（例如，x + y = 10）或不等式约束（例如，x ≥ 0）。
• 可行域：搜索空间中所有满足约束的点的集合。优化器在这个区域内寻找全局最优解。
• 多峰函数：具有多个局部最大值或最小值的函数。由于存在多个次优的峰值和谷值，这些函数更难进行全局优化。
• 启发式和元启发式方法：利用规则或自然类比来找到近似解但不能保证最佳解的方法（例如，模拟退火、遗传算法）。

实现全局优化的挑战

1. 存在多个局部最优解

许多目标函数存在多个局部最小值或最大值，因此很难区分真正的全局最优解和局部最优解。

2. 非线性

当目标函数以非线性的方式构建时，会产生复杂的“景观”，使用标准优化技术难以导航。

3. 非凸性

非凸函数可能包含谷、脊或低点，从而难以找到全局最优解。

4. 高维度

随着变量数量的增加，搜索空间的大小呈指数级增长，使得穷举搜索或简单启发式方法不可行。

5. 数据噪声

数据中的噪声或其他随机变化可能导致优化算法收敛到较差的解决方案。

6. 不确定性

问题定义可能不完整或存在不确定性（关于约束或不断变化的情况），这会阻碍可靠地找到全局最优解。

基于梯度的全局优化技术

基于梯度的全局优化方法利用目标函数的梯度进行搜索，以达到全局最优解。它们通常因其速度快、效率高以及处理复杂优化问题的能力而得到应用。

1. 梯度下降及其变体

梯度下降是一种常见的迭代优化技术，它根据目标函数的负梯度方向更新参数。它因其简单和高效而闻名，可用于解决大多数优化问题。

梯度下降变体：梯度下降的其他变体包括随机梯度下降（SGD），它使用单个数据点计算梯度；小批量梯度下降，它使用小批量数据计算梯度；以及动量梯度下降，它添加了一个动量参数来帮助跳出局部最优解并加速收敛。

2. 共轭梯度法

共轭梯度法通过寻找共轭方向来求解优化问题，以找到全局最优解：这些方向（与之前的搜索方向相关）与海森矩阵相关。与简单的梯度下降相比，这些技术具有一些优点，包括收敛速度更快、避免局部最优解的能力更强，以及对优化过程中的噪声和不确定性更具抵抗力。

3. 拟牛顿法

拟牛顿法是使用海森矩阵的近似值而不是精确计算来寻找全局最优解的优化算法。这些方法在计算上是有效的，并且收敛速度快。通常流行的拟牛顿算法是 Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) 算法和 Davidon-Fletcher-Powell (DFP) 算法，它们在优化过程中迭代地逼近海森矩阵。

无梯度全局优化技术

无梯度全局优化方法不依赖于梯度，可以应用于目标函数的梯度未知或难以计算的情况。

1. 进化算法

这些算法通过演化一组候选解决方案来模拟自然选择。它们包括初始化种群、选择最适应的候选者、通过交叉产生新解决方案以及通过变异来创造多样性。各种著名的方法包括遗传算法 (GA)、进化策略 (ES) 或差分进化 (DE)。

2. 群体智能

该方法应用了搜索可能性空间的集体智能体行为。每个智能体根据自己的经验和周围邻居的经验来调整自己的位置。著名的算法包括粒子群优化 (PSO)、蚁群优化 (ACO) 和人工蜂群 (ABC)。

3. 模拟退火

模拟退火算法基于冶金学中的退火过程；它从一个给定的初始解决方案和温度计划开始。为了搜索新的候选解，它通过将当前点移动到其他候选点来扰动解决方案，并根据 Metropolis 准则以概率方式接受解决方案，随着温度的降低，逐渐收敛到全局最优解。

全局优化工具和软件

有许多开源和商业软件工具可用于解决全局优化问题。这些工具为各种优化问题提供了从数学规划到进化技术的算法。

• MATLAB 的全局优化工具箱：对于工程和学术界，MATLAB 的全局优化工具箱是一个流行的选择。其强大的算法包括粒子群优化、模拟退火和遗传算法。由于其图形用户界面和可视化工具，可以轻松地对约束和无约束问题进行建模和求解。
• Python：Python 中有许多强大的库可用于全局优化。PyGMO、DEAP 和 Nevergrad 支持更复杂的方法，例如进化策略和并行优化，而 SciPy 则提供差分进化等基本方法。这些工具的多功能性和社区支持使其在工业和研究应用中都很受欢迎。
• R：当统计分析和建模需要全局优化时，GA（用于遗传算法）和 nloptr（与 NLopt 库交互）等包很有用。GAMS：通用代数建模系统 GAMS 是运筹学中使用的先进建模环境。它在广泛的行业中，对于结构化数学规划和大规模全局优化问题都很有效。
• Excel Solver：Excel Solver 及其进化求解器加载项是中小型优化问题的有用工具。虽然它不如其他平台强大，但它用户友好且易于访问，非常适合快速实验和教学。
• Wolfram Mathematica：Wolfram Mathematica 使用符号和数值技术支持全局优化。其 NMinimize 和 NMaximize 等功能简化了在单一环境中定义和解决复杂问题。
• BARON、LINGO 和 KNITRO：对于非线性混合整数全局优化，BARON、LINGO 和 KNITRO 等商业求解器提供高性能引擎。在对精度和可靠性要求很高的领域，这些工具更受青睐。
• JuMP 和 Optim：Julia 语言中提供了 JuMP 和 Optim 等程序包。JL 提供先进、高效的优化框架。Julia 的速度和建模能力使其在处理大型、计算密集型问题时很有吸引力。

用户技能、算法要求、问题复杂性和规模都会影响工具的选择。全局优化生态系统凭借其高度可配置的库和直观的用户界面，为各种问题提供了解决方案。

全局优化最佳实践

为了实现有效的全局优化，需要考虑以下最佳实践：

采用合适的优化技术

选择适合您问题的优化算法是一个重要环节。例如，对于光滑可微函数，基于梯度的渐进方法是最佳选择；而对于噪声大、不连续或复合的“景观”，则更适合无梯度方法。

进行多次初始化

使用多个不同的起始点来初始化优化过程，可以提高逃离局部最优解并收敛到全局最优解的概率，尤其是在非凸问题中。

使用正则化方法

使用正则化方法可以防止过度拟合，鼓励更简单的解决方案，这可能会带来更具泛化性的结果并提高优化任务的输出。

监控收敛性

持续监控优化过程的收敛模式。监控可以帮助您发现何时停滞不前，调整超参数，或在目标达成前终止。

结论

复杂的优化问题需要全局优化来找到最优解。这可以通过多种技术来实现，最常见的是基于梯度的方法，当梯度可用时，它们非常高效和有效；以及无梯度方法，适用于梯度难以计算或不可靠的问题。

这两种方法都有其优缺点，应根据问题的特性（如平滑度、维度和噪声）选择特定技术。

应用最佳实践将为实践者提供更好的机会找到全局最优解：选择合适的算法，在适用时使用多次初始化，结合正则化和检查收敛性。总而言之，全局优化在工程、金融、科学研究以及任何其他领域都提供了卓越的解决方案。

常见问题

1. 局部优化与全局优化的区别是什么？

局部优化仅在小区域内寻找最佳解决方案，而全局优化则在整个搜索空间中寻找最佳解决方案。全局策略试图克服局部策略可能陷入次优境地的限制。

2. 为什么全局优化很难？

许多问题存在多个局部最优解、复杂的约束或高维变量，这使得全局优化变得非常困难。由于这些因素，寻找最优解既困难又耗时。

3. 何时应使用全局优化？

当局部方法无法获得持续高质量的结果，问题是非凸的，或者存在许多局部最小值时，应使用全局优化。在处理复杂或不确定的目标函数时，它非常有用。

4. 是否总是使用全局优化技术来找到最优解？

不一定。虽然确定性技术有时可以保证最优性，但大多数全局优化技术，如遗传算法和模拟退火，是启发式的。它们提供准确的估计，但不保证绝对最优。

5. 哪种全局优化方法是最好的？

没有绝对“最好”的全局优化技术。选择取决于问题的类型、规模和结构。特定领域的方法或混合方法通常比通用方法表现更好。