时间序列 - 指数平滑

17 Mar 2025 | 6 分钟阅读

指数平滑是一种时间序列预测技术，它赋予历史观测值随时间呈指数衰减的权重。它的前提是，与较旧的观测值相比，较新的观测值更能预测未来的行为。这种方法对于缺乏季节性或明显模式的数据集尤其有效。

平滑参数，通常表示为（alpha），是指数平滑的基本组成部分。此参数的值决定了早期数据权重的衰减速度。当值较高时，最近的观测值被赋予更大的权重，而当值较低时，历史数据被赋予更大的权重。

数据集

从莫纳罗亚天文台获取的二氧化碳数据，即著名的“基林曲线”，是全球大气二氧化碳水平最广泛、最不间断的记录。研究人员在偏远地区进行大气测量，以获取能够准确代表地球大部分大气层且受当地因素影响较小的空气样本。

代码

现在为了更好地理解这种指数平滑，我们将尝试估算一个月后的空气污染量 (CO2)。

导入库

import itertools
import warnings
import numpy as np
import pandas as pd
pd.set_option("display.max_columns", None)
pd.set_option("display.width", 500)
pd.set_option("display.float_format", lambda x: "%.4f" % x)

import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm
from sklearn.metrics import mean_absolute_error

from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing
from statsmodels.tsa.holtwinters import SimpleExpSmoothing
from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose
import statsmodels.tsa.api as smt

warnings.filterwarnings("ignore")

读取数据集

data = sm.datasets.co2.load_pandas()
y = data.data
y.head()

输出

# Converting Weekly Data to Monthly Data
y = y['co2'].resample('MS').mean()
y.head()

输出

# Filling the Missing Values with the Next Value
y = y.fillna(y.bfill())
y.isnull().sum()

输出

y.plot(figsize=(15, 4))
plt.show()

输出

拆分数据集

# Using Holdut Method ===> Train: 478 Months and Test: 48 Months
train = y[:'1997-12-01']
test = y['1998-01-01':]
print((len(train), len(test)))

输出

时间序列结构分析

现在我们将创建一个函数，它将使用时间序列季节性分解 (STL) 方法进行时间序列分解。它将时间序列分解为趋势、季节性和残差分量，并进行 Dickey-Fuller 检验以确定时间序列的平稳性。

def ts_decompose(y, model="additive"):
    
    # Stationary Test: Dickey-Fuller
    # "HO: Non-stationary"
    # "H1: Stationary"
    p_value = sm.tsa.stattools.adfuller(y)[1]
    if p_value < 0.05:
        is_istationary = (F"Result: Stationary (H0: non-stationary, p-value: {round(p_value, 3)})")
    else:
        is_istationary = (F"Result: Non-Stationary (H0: non-stationary, p-value: {round(p_value, 3)})")
    
    result = seasonal_decompose(y, model=model)
    fig, axes = plt.subplots(4, 1, sharex=True, sharey=False)
    fig.set_figheight(10)
    fig.set_figwidth(15)

    axes[0].set_title("Decomposition for " + model + " model")
    axes[0].plot(y, 'k', label='Original ' + model)
    axes[0].legend(loc='upper left')

    axes[1].set_title(is_istationary)
    axes[1].plot(result.trend, label='Trend')
    axes[1].legend(loc='upper left')

    axes[2].plot(result.seasonal, 'g', label='Seasonality & Mean: ' + str(round(result.seasonal.mean(), 4)))
    axes[2].legend(loc='upper left')

    axes[3].plot(result.resid, 'r', label='Residuals & Mean: ' + str(round(result.resid.mean(), 4)))
    axes[3].legend(loc='upper left')
    plt.show(block=True)

ts_decompose(y)

输出

单一指数平滑

单一指数平滑 (SES)，也称为简单指数平滑，是一种用于预测缺乏趋势或季节性分量的时间序列数据的技术。它涉及一个称为 alpha (?) 的单一参数，也称为平滑因子或系数。Alpha 决定了过去观测值影响呈指数衰减的速度。通常，alpha 的值介于 0 和 1 之间，其中较大的值优先考虑近期数据，而较小的值则考虑更广泛的历史背景进行预测。

# Create a Base Model Using Single Exponential Smoothing
# SES = Level

def plot_model(train, test, y_pred, title):
  mae = mean_absolute_error(test, y_pred)
  train.plot(figsize=(15, 4), legend=True, label="TRAIN", title=f"{title}, MAE: {round(mae, 2)}")
  test.plot(legend=True, label="TEST")
  y_pred.plot(legend=True, label="PREDICTION")
  plt.show()

def ses_base_model(train, test, smoothing_level, step, title="Single Exponential Smoothing"):
  ses_model = SimpleExpSmoothing(train).fit(smoothing_level=smoothing_level)
  y_pred = ses_model.forecast(step)
  mae = mean_absolute_error(test, y_pred)
  plot_model(train, test, y_pred, title)
ses_base_model(train, test, smoothing_level=0.5, step=48)

输出

模型调整 - 单一指数平滑

def ses_optimizer(train, alphas, step):

    best_alpha, best_mae = None, float("inf")

    for alpha in alphas:
        ses_model = SimpleExpSmoothing(train).fit(smoothing_level=alpha)
        y_pred = ses_model.forecast(step)
        mae = mean_absolute_error(test, y_pred)

        if mae < best_mae:
            best_alpha, best_mae = alpha, mae

    return best_alpha, best_mae


def ses_model_tuning(train , test, step, title="Model Tuning - Single Exponential Smoothing"):
  alphas = np.arange(0.8, 1, 0.01)
  best_alpha, best_mae = ses_optimizer(train, alphas, step=step)
  final_model = SimpleExpSmoothing(train).fit(smoothing_level=best_alpha)
  y_pred = final_model.forecast(step)
  mae = mean_absolute_error(test, y_pred)
  plot_model(train, test, y_pred, title)


ses_model_tuning(train, test, step=48)

输出

双重指数平滑

双重指数平滑是一种源自指数平滑的技术，专为适应单变量时间序列数据中的趋势而设计。除了控制水平平滑因子的 alpha 参数外，双重指数平滑还引入了另一个参数，称为 beta (b)。此参数用于调节趋势影响随时间的衰减。该方法用途广泛，能够处理各种类型的趋势变化，例如加性趋势和乘性趋势，分别对应线性趋势和指数趋势。当应用于加性趋势时，它通常被称为霍尔特线性趋势模型，以其创建者查尔斯·霍尔特命名。需要注意的是，对于长期预测，趋势可能会不切实际地持续存在。因此，随时间阻尼趋势可能是一种减轻此问题的宝贵策略。

# Create a Base Model Using Double Exponential Smoothing
# DES = Level(SES) + Trend

def des_base_model(train, test, trend, smoothing_level, smoothing_trend, step, title="Double Exponential Smoothing"):
  des_model = ExponentialSmoothing(train, trend=trend).fit(smoothing_level=smoothing_level, smoothing_slope=smoothing_trend)
  y_pred = des_model.forecast(step)
  mae = mean_absolute_error(test, y_pred)
  plot_model(train, test, y_pred, title)
des_base_model(train, test, trend='add', smoothing_level=0.5, smoothing_trend=0.5, step=48)

输出

模型调整 - 双重指数平滑

def des_optimizer(train, alphas, betas, trend, step):

    best_alpha, best_beta, best_mae = None, None, float("inf")

    for alpha in alphas:
        for beta in betas:
            des_model = ExponentialSmoothing(train, trend=trend).fit(smoothing_level=alpha, smoothing_slope=beta)
            y_pred = des_model.forecast(step)
            mae = mean_absolute_error(test, y_pred)
            if mae < best_mae:
                best_alpha, best_beta, best_mae = alpha, beta, mae

    return best_alpha, best_beta, best_mae


def des_model_tuning(train , test, step, trend, title="Model Tuning - Double Exponential Smoothing"):
  alphas = np.arange(0.01, 1, 0.10)
  betas = np.arange(0.01, 1, 0.10)
  best_alpha, best_beta, best_mae = des_optimizer(train, alphas, betas, trend=trend, step=step)
  final_model = ExponentialSmoothing(train, trend=trend).fit(smoothing_level=best_alpha, smoothing_slope=best_beta)
  y_pred = final_model.forecast(step)
  mae = mean_absolute_error(test, y_pred)
  plot_model(train, test, y_pred, title)

des_model_tuning(train, test, step=48, trend='add')

输出

三重指数平滑

三重指数平滑，也称为霍尔特-温特斯指数平滑，是一种高级技术，它扩展了指数平滑，以适应单变量时间序列数据中的季节性。该方法以其贡献者查尔斯·霍尔特和彼得·温特斯的名字命名，引入了一个新的参数，称为伽马 (g)，以及 alpha 和 beta 平滑因子。伽马控制季节性分量的影响，允许将季节性建模为加性或乘性过程。加性季节性对应于线性季节性，而乘性季节性与指数季节性一致。三重指数平滑是指数平滑最复杂的变体，能够通过配置开发双重和单一指数平滑模型。

#Create a Base Model Using Triple Exponential Smoothing
# TES = Level(SES) + Trend + Seasonality

#or

 # TES = SES + DES + Seasonality


def tes_base_model(train, test, trend, seasonal, seasonal_periods, smoothing_level, smoothing_trend, smoothing_seasonal, step, title="Triple Exponential Smoothing"):
  des_model = ExponentialSmoothing(train, 
                                   trend=trend, 
                                   seasonal=seasonal, 
                                   seasonal_periods=seasonal_periods).fit(smoothing_level=smoothing_level, 
                                                                          smoothing_slope=smoothing_trend,
                                                                          smoothing_seasonal=smoothing_seasonal)
  y_pred = des_model.forecast(step)
  mae = mean_absolute_error(test, y_pred)
  plot_model(train, test, y_pred, title)
tes_base_model(train, test, trend='add', seasonal='add', seasonal_periods=12, smoothing_level=0.5, smoothing_trend=0.5, smoothing_seasonal=0.5, step=48)

输出

模型调整 - 三重指数平滑

def tes_optimizer(train, abg, trend, seasonal,  seasonal_periods, step):
    best_alpha, best_beta, best_gamma, best_mae = None, None, None, float("inf")
    for comb in abg:
        tes_model = ExponentialSmoothing(train, trend=trend, seasonal=seasonal, seasonal_periods=seasonal_periods).\
            fit(smoothing_level=comb[0], smoothing_slope=comb[1], smoothing_seasonal=comb[2])
        y_pred = tes_model.forecast(step)
        mae = mean_absolute_error(test, y_pred)
        if mae < best_mae:
            best_alpha, best_beta, best_gamma, best_mae = comb[0], comb[1], comb[2], mae

    return best_alpha, best_beta, best_gamma, best_mae
def tes_model_tuning(train , test, step, trend, seasonal, seasonal_periods, title="Model Tuning - Triple Exponential Smoothing"):
  alphas = betas = gammas = np.arange(0.10, 1, 0.10)
  abg = list(itertools.product(alphas, betas, gammas))
  best_alpha, best_beta, best_gamma, best_mae = tes_optimizer(train, abg=abg, trend=trend, seasonal=seasonal, seasonal_periods=seasonal_periods, step=step)
  final_model = ExponentialSmoothing(train, trend=trend, seasonal=seasonal).fit(smoothing_level=best_alpha, smoothing_slope=best_beta, smoothing_seasonal=best_gamma)
  y_pred = final_model.forecast(step)
  mae = mean_absolute_error(test, y_pred)
  plot_model(train, test, y_pred, title)
  return best_alpha, best_beta, best_gamma, best_mae
best_alpha, best_beta, best_gamma, best_mae = tes_model_tuning(train, test, step=48, trend='add', seasonal='add', seasonal_periods=12)

输出

TES 最终预测

def tes_final_model(y, best_alpha, best_beta, best_gamma, step, trend='add', seasonal='add'):
  final_model = ExponentialSmoothing(y, trend=trend, seasonal=seasonal).fit(smoothing_level=best_alpha, smoothing_slope=best_beta, smoothing_seasonal=best_gamma)
  feature_predict = final_model.forecast(step)
  return feature_predict


tes_final_model(y, best_alpha, best_beta, best_gamma, step=6)

输出

下一个主题机器学习中的 AUC ROC 曲线

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