幂、积和商法则

微积分是数学中绝对基础的一部分，其中变化率和累积的概念起着至关重要的作用。在可用的各种技术中，其中一种需要知道的技术是使用幂、积和商法则进行微分。幂法则简化了查找导数的能力，这对于理解函数如何行为以及解决物理、工程、经济或机器学习中的实际现实问题非常重要。

幂、积和商法则在微分方面为微积分带来了显著的优势，并减少了处理极限的“繁重工作”，从而使复杂的问题安排更容易处理。这些法则可以应用于各种函数，包括多项式和三角表达式。它们进一步用作偏导数和多重积分的基础，支持更高级问题的解决方案策略。此外，这些法则的应用进一步培养了分析能力和对函数更深层次行为的理解，这在学术和实际应用中都非常有帮助。

幂法则

在所有微分法则中，幂法则是最简单、最常用的。您将能够轻松计算变量的某个幂的函数导数。更具体地说，当函数形式为 f(x)=x^n 时，其中 n 是任何实数，幂法则会告诉您该函数的导数是

(x)=n*x^(n-1)。换句话说，您将原始变量的指数乘以其系数，然后从指数中减去一。

例如，考虑函数 f(x)=x^3。根据幂法则，导数是 f(x)=3x^2。请注意，幂法则如何扩展到负整数、分数以及正整数。例如，f(x)=x^-2 的导数是 f`(x)=-2x^-3，而 f(x)=x^½ 的导数是 f`(x)=½*x^(1/1)。

幂法则是很有用的，因为它使得多项式函数以及包含根和倒数的函数进行微分变得容易。它的简洁性使其在需要快速准确微分的学术和实际应用中都非常有用。

积法则

虽然幂法则适用于写成单个幂的函数，但大多数实际函数是两个或多个函数的乘积。此时，可以使用积法则。积法则允许我们对本身是两个函数乘积的函数进行微分，方法是提供一种从各个因子导数计算其导数的策略。

如果您有两个函数 g(x) 和 h(x)，并且您想找到乘积 f(x)=g(x)*h(x) 的导数，积法则规定导数 f`(x) 是：f`(x)=g`(x)*h(x)+g(x)*h`(x)。这也可以表示为将第一个函数乘以第二个函数的导数，加上将第二个函数乘以第一个函数的导数。

例如，考虑函数 f(x)=x^2*sin(x)。应用积法则：f`(x)=(2x)*sin(x)+x^2*cos(x)=2*sin(x)+x^2cos(x)。在许多应用中，尤其是在工程和物理学中，人们经常处理以各种函数乘积形式给出的函数。积法则将使人们能够微分在运动、力和能量研究中自然出现的复杂公式。

商法则

除了乘积，许多函数还表示两个其他函数的比率。表示这些比率的函数受商法则的约束。在本节中，我们将展示如何对商进行微分。该法则提供了对一个函数作为两个函数之商的导数的公式。

使用商法则，您可以确定两个函数 a(x) 和 b(x) 的商 f(x)=b(x)/a(x) 的导数。其导数 f`(x) 的公式为 f`(x)={a`(x)*b(x)-a(x)*b`(x)}/[b(x)]^2。该过程包括将分子导数乘以分母，减去分子与分母导数的乘积，然后将整个表达式除以分母的平方。

商法则在经济学和工程学等领域有着重要的应用，因为许多关键关系都表示为比率。例如，在经济学中，成本收入比或市盈率是重要的比率，它们的微分对于优化和分析很重要。

导数在机器学习中的作用

虽然这些概念——幂、积和商法则——在某种程度上是抽象的，但它们直接应用于现代机器学习。在机器学习中，导数出现在诸如梯度下降等优化算法中，通过最小化损失函数来提高模型准确性。

• 梯度下降：此优化过程的目的是减小函数。梯度下降通过迭代地沿着损失函数的负梯度方向移动来达到此目的，以减小模型的参数。此示例中涉及的损失函数导数是使用幂、积和商法则计算的。
• 反向传播算法：它们广泛使用微分法则。在神经网络的训练中，反向传播通过使用积法则和商法则来估计损失函数相对于网络权重的梯度。这就是如何调整网络的权重以减小误差或有效地从数据中学习。
• 正则化技术：岭回归和 Lasso 回归向损失函数添加惩罚项以对抗过拟合。这些正则化项的导数涉及幂法则和积法则，从而使模型能够权衡拟合训练数据和保持简单性。
• SVM：在 SVM 中，优化问题在仅限于 SVM 表面上导致分类错误的点的情况下，优化最大间隔。SVM 内目标函数的差异取决于积法则和商法则，以计算优化过程的适当梯度。

结论

幂、积和商法则是微积分算法的基石，它使得对一大类函数进行微分成为可能。它们是学习者和教师手中的简单、有效且有价值的工具，它们支撑着机器学习中对于模型训练及其后续改进至关重要的优化算法。