微分和积分微积分

微积分是一门研究连续变化的数学学科。这项研究被称为无穷小微积分，也称为微积分，是对函数随时间演变的研究。一个很好的例子是距离和时间如何关联；速度是距离相对于时间的变化率。微积分涉及两个基本概念：导数和积分。

微积分

我们前面已经讨论过，微积分研究的是不断变化中的无穷小量。现在，这些值是无穷小的：它们非常小，接近零，但永远不等于零。

艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨是发展这门重要数学分支的人。它教授了包括微分、积分、函数、连续性和可导性在内的重要概念。

最重要的是，微积分非常有用，尤其是在数学中，因为它有助于分析当获得的值最优化时，值如何相对于一个定义的函数连续变化。

微积分的研究包含两个主要分支：微分微积分和积分微积分。作为一门更高级的数学领域，分析学建立在它们共同的基础上。

微积分的复杂程度通常分为三个主要类别

预备微积分

微积分以微积分的研究开始，预备微积分作为基础。本书主要涉及代数和三角学，以及所需的材料，例如函数、定量阅读、有理函数、反函数和复数。预备微积分的目的是帮助学生掌握更高级的微积分概念。

微积分 1

在此级别介绍基本的微分微积分和核心概念。一些主题包括极限、连续性、导数和导数的应用。在此阶段，还介绍了基本积分，为进一步学习奠定基础。

微积分 2

此级别以更高级甚至更复杂的方式扩展了微积分 1 中的思想。实际上，主题涵盖了梯形法则、序列、级数、微分方程以及积分的其他用途。微积分 2 将微积分技术应用于连续变化的更深层次方面，并为学生准备不同级别的数学学习。

微分微积分

微积分是一门处理变化率的数学分支，就微分微积分而言。主要研究的是使用 x 和 y 等变量来研究函数（例如 f(x)）的极限和变化率。

限制

极限是微积分的一个基本思想，它告诉我们当输入值接近某个特定值时，函数会如何表现。它是衡量一个值与某个特定点距离的度量。

极限的符号表示为

它的读法如下：“当 x 趋近于 c 时，f(x) 的极限等于 A。”

定义域和值域

在函数中，“定义域”表示所有可能的输入值集合，“值域”表示所有可能的输出值集合。

如果函数 f: A → B，则称它取定义域 A，并且值域是 B 中与映射元素对应的元素集合。

示例

如果 f(x) = 3x 且输入值（定义域）为 {2, 3, 4}，则输出值（值域）为 {6, 9, 12}。那么

- f(2) = 3 × 2 = 6

- f(3) = 3 × 3 = 9

- f(4) = 3 × 4 = 12

因此，该函数的值域为 {6, 9, 12}。

函数

函数被定义为一个在两个集合之间存在关系，并且每个给定输入只有一个输出的函数。x 的函数通常写为 f(x)。

因变量

因变量是其值由另一个变量决定的变量；在大多数情况下，另一个变量是自变量。它是函数的结果。

自变量

函数中的输入量被称为自变量，它决定了从函数返回的结果值。

示例

如果 y = 7x，那么 x 是自变量（或输入），y 是因变量（或输出），因为 y 依赖于 x（换句话说，随 x 变化）。

积分微积分

首先，积分微积分是一门旨在寻找积分及其应用的数学分支。它允许我们

• 给定其导数，f 恢复一个函数。
• 求函数 f 曲线下方的面积

“如果一个函数在给定区间上是可微的”意味着一个函数在给定区间上是定义且连续的。

积分微积分由一些重要主题组成，包括

集成

积分几乎是微分的相反。微分将一个大体积分解成多个部分，而积分将有吸引力的部分组合成一个整体。

它经常应用于计算曲线下方的面积和累积量。

定积分

定积分需要积分变量的上界和下界之间的精确边界。定积分使用户能够在给定的区间内确定精确的函数值。

它表示为

这里，积分的下限是 a，上限是 b。

不定积分

不定积分没有指定的极限。反导数形式以一般形式出现，因为积分常数未知，所以我们将 + C 添加为最终表达式项。

它写成

未知常数 C 出现在该表达式中。