什么是特征向量？

特征向量是线性代数中最基本的数学对象之一。它们在许多科学和工程应用中发挥着非常重要的作用。这些向量非常特殊，因为当它们经过给定的线性变换时，它们的方向保持不变，但会按一个称为特征值的因子进行缩放。这是最重要的因素之一，因为它们简化了复杂的线性运算，从而能够更深入地了解数据、系统或矩阵的底层结构。

在开发基于图像、音频或文本的预测模型时，通常会生成大型且密集的特征集，这使得难以轻松地可视化和分析超过三个维度的任何事物。有一种非常常见的编码技术称为独热编码，它将文本特征映射到独立的列中，但需要大量的存储空间。在不丢失非常重要信息的情况下进行降维，依赖于特征值和特征向量的数学基础，这些构成了强大的策略（如主成分分析，尤其是 PCA）的基础。它们对于线性微分方程非常重要，在这些方程中，变量之间的关系得以维持，并且计算变化率。特征值和特征向量是面部识别技术（如 EigenFaces）的基础，这些技术允许进行谱聚类，从而识别嘈杂数据中的有意义模式，并实现数据集中项目的排名。此外，在非线性运动动力学中，它们有助于以更易于解释的形式表示数据。最终，特征值和特征向量提供了复杂矩阵的简洁摘要，使它们成为数据科学和机器学习中宝贵的工具。

数学上

一个特征向量是一个方阵的非零向量，使得对于某个标量（称为与对应的特征值），以下等式成立：“这里，是线性变换，根据等式，将其应用于会产生一个向量，该向量是的一个标量倍数。”

为了找到特征向量，必须求解特征方程：“其中是与相同维度的单位矩阵。此多项式方程的根是特征值，将这些值代回可以计算特征向量。”

• 方阵的特征向量是一个包含 n 个元素的数组，其中 n 是行和列的数量。特征向量的符号是 x。当特征向量经过线性变换时，其方向保持不变。
• 因此，特征向量应该是一个非空向量。
• 特征值：为了确保 A*x-alpha*x=0，我们必须确定一组值或特征值 (alpha)。

根据上面的方程，我们必须将标量 alpha（特征值）乘以向量 x，以便在矩阵 A 乘以向量 x（特征向量）后，它等于矩阵 A 的线性变换。

A*x-alpha*x=0 > (A-alpha*I)x=0

方程 A*x-alpha*x=0 不应存在可逆性。例如，行列式 (A-alpha*I)=0。

现在我们将对特征向量执行各种操作。

首先，我们将导入我们的库。

设 A 为对称矩阵，B=A^T*A=A^2。

输出

证明如果 alpha 是 A 的特征值，那么 alpha^2 是 B 的特征值。

输出

在证明 B 也是对称矩阵后，利用 A 的特征值分解（即 A=uTalphau）来确定 B 的特征值分解。

输出

受早期结果的启发，创建一个新矩阵 C，该矩阵满足 C.T.C=A 并且具有与 A 相同的特征值。证明 C 也是对称的，因此它可以用于确定矩阵的“平方根”（即 A……平方根=C）。

创建一个算法，根据 A 构建匹配的 C。用 Python 实现它，并用一个示例演示其功能。

输出