概率密度函数

想象一家生产金属棒的工厂，每根棒的长度在 0 到 20 厘米之间连续波动。制造精度与长度相关，棒的长度不限于整数。它可以取 0 到 20 厘米范围内的任何小数。由于 0 到 20 厘米之间允许出现任何此类连续值，因此棒的长度在随机事件中被视为连续随机变量。现在假设我们需要找出学生在 11 到 12 范围内的得分概率。为了澄清这一点，假设事件概率在区间上均匀分布的公式。

这里，E 表示 11 到 12 厘米之间所有长度的集合，而 S 表示所有可能的长度集合，其中包括 1 到 20 之间的所有实数。根据问题中给出的定义，n(E) 是不可数的，因为不可能计算 11 到 12 厘米范围内所有实数的数量。同样，n(S) 也无法计算。这就是为什么需要另一种方法来计算概率。

概率密度函数 P(x) 是衡量随机变量取值接近某个任意点 x 的可能性的度量。它可用于获取 x 位于该范围内的概率。在我们的假设课堂中，如果我们有模拟长度分布的概率密度函数，我们将计算 P(11 < x < 12) 以获得我们想要的概率。但是，我们如何确定这一点呢？概率密度函数曲线下的面积，由 x 轴和点 (x = 11) 和 (x = 12) 限制，表示概率。这在下图中显示为一个任意概率密度函数。

正如我们已经知道的，这个面积等于积分的值。

因此，我们可以快速确定长度落在 11 到 12 之间的可能性。现在计算完成，我们可以确定概率。以下是概率密度函数

其中 x 是获得的长度。选择此函数是为了使长度接近 10（大于或小于）的可能性很大，然后快速下降。

现在让我们计算积分

其中 p(x) 是前面的函数

代码

输出

0.135905121983278

我们让带有 p 作为函数概率密度函数的积分对象计算从 11 到 12 沿 x 轴的定积分。我们使用 `doit()` 方法评估函数，然后应用 `evalf()` 方法获取数值答案。我们发现长度在 11 到 12 之间的概率约为 0.14。

此外，即使 a 和 b 是分别接近无穷大的非常大的数字，积分的值也将始终等于 1，这很容易通过独立计算证实。

代码

输出

1.0

这是一个图形类比，可以帮助您理解 PDF 是什么：想象一条代表 PDF 的平滑曲线。这条曲线并没有告诉您特定值（例如精确的 60 mph）的概率；相反，它告诉您速度落在特定范围（例如，59 到 61 mph 之间）的可能性有多大。

这里的主要概念是，所有可能事件的总概率由该曲线下的面积加起来等于 1 表示。简而言之，您可以通过计算曲线下沿 x 轴上两点之间的面积来确定您的随机变量落入该范围的可能性。因此，每当您听说积分曲线下面积时，它基本上意味着计算连续随机变量的概率。

参数密度估计是对随机变量的概率密度函数的估计，假设底层分布属于某个特定的概率分布参数族。这包括，例如，正态分布、指数分布或泊松分布。

代码

输出

49.76208578213498

代码

输出

下一步涉及使用两个参数：样本均值和样本标准差，将正态分布拟合到给定数据。我们可以通过为正态分布的概率密度函数提供 x 值来创建概率密度曲线。

在这里，使用样本的均值和标准差为正态分布创建了一个对象。然后，该对象可用于各种目的，例如计算概率、生成随机样本以及执行与正态分布相关的统计分析。

代码

输出

应用

机器学习与数据建模

PDF 是机器学习中处理连续数据的概率预测算法的一部分。例如，高斯混合模型、朴素贝叶斯分类器和异常检测系统利用 PDF 来表示特征分布的方式。这对于对输入进行分类、查找异常值或创建合成数据很有用。概率图模型和贝叶斯推断也使用 PDF 来更新模型对新接收数据的预测。通过了解一个值可能有多大概率，机器学习系统可以做出更好的决策并提供具有可衡量置信度的结果，这就是 PDF 成为预测分析基石的原因。

气象学和环境科学

PDF 由于其在环境建模和天气预报中的广泛适用性，描述了连续变量温度、湿度、风速或污染物浓度的分布。通过气象学家使用的 PDF，还可以估计特定时期后是否会下雨、出现热浪或风暴。在气候方面，PDF 可用于检查长期模式和波动，例如全球平均温度变化或海平面上升。环境工程师提供它们来确定污染水平并制定可持续的资源管理策略。这些模型可以通过定义自然波动量化和风险，在农业、灾害管理和环境保护中实现基于数据的决策。

信号处理和通信系统

在信号处理中，PDF 在理解噪声、信号变化和通信系统的一般可预测性方面发挥着核心作用。白噪声、无线电频率和电磁干扰等连续随机信号在工程中被建模为 PDF。这使得他们能够制造出提供最准确信号和传输过程中最小误差的滤波器。PDF 还可用于测量无线通信中的误码率、功率规划和信道弹性。这些想法对于创建有效的移动网络、雷达网络和音频处理应用程序至关重要。通过了解信号值的概率分布，设计人员能够更好地控制系统行为，并能够预测系统在不同环境影响下的性能。

医学研究与生物学研究

在生命科学和医疗保健领域，PDF 在建模连续定量变量方面发挥着重要作用，例如血压、胆固醇水平、体温或生存时间。它们是医学研究人员用来确定生理测试结果落在健康范围内的可能性或预测疾病的参数。PDF 中的样本有助于对数据进行事件时间分析，例如治疗达到预期结果所需的时间。在流行病学家的情况下，PDF 在建模疾病传播模式和随时间推移的暴露风险方面也完全有效。

优点

连续数据建模是最佳选择

PDF 特别用于分析连续随机变量，这些变量最适用于现实生活中的测量，如时间、温度、高度或速度。它们使统计学家能够理解值在范围内的分布，而不是局限于离散值。这种渐进式建模增加了 PDF 在科学、工程和经济学应用中的灵活性和真实性，在这些领域中，值是连续的，精确计数不存在或不重要。

允许计算区间上的概率

PDF 最显著的优点之一是能够计算变量取特定位置的可能性。用户可以计算事件落在区间内的概率，而不是计算特定事件的可能性。其有用性的一个例子可以在需要估计预计交付窗口、估计考试分数范围或在金融和医疗保健中建模风险区域的情况下看到。它增强了在变量驱动和不确定环境中的决策过程。

有助于学习图形和数据分析

由于 PDF 以平滑曲线的形式图形显示，因此数据模式易于阅读。曲线上的高点和低点有助于发现哪些值是集中的或狭窄的，并且可以找到诸如集中趋势、偏度或离散度等信息。在此视觉性质下，探索性数据分析期间可以更快地做出判断，并帮助分析师得出有意义的结论并识别数据中的异常或不规则性。

统计和人工智能模型

大多数统计方法和人工智能算法，例如回归和贝叶斯推断或概率分类器，都将 PDF 作为其基石。它们使模型能够根据变量的概率分布做出明智的猜测，从而产生改进和更好的结果。PDF 用户友好且经济实惠，因为它们在数学上具有灵活性，并且可以集成到编程库中，从而使它们在数据科学、工程和研究中非常有用。

常见问题解答

概率密度函数（PDF）是什么意思？

概率密度函数或 PDF 是一种分析工具，它描述了常数随机变量假设选定值或随机变量落在某些给定值之间的概率。PDF 不提供特定值的绝对概率，例如离散概率，而是像函数图一样显示所讨论变量范围内的概率集中度。它有助于可视化值的分布，特别是在物理学、金融和机器学习等领域。PDF 曲线下在区间上的面积等于变量在该区间内的概率。

PDF 和概率质量函数（PMF）之间有什么区别？

PDF 适用于连续变量，而 PMF 适用于离散变量。PMF 允许计算特定值出现的精确可能性，例如掷骰子时出现 4。单个点在 PDF 中没有出现的可能性，而是量化落入集合中的可能性。例如，在身高方面，您永远不会询问某人身高 170.00 厘米的概率，而是会询问他身高 169.5 - 170.5 厘米的概率。PDF 以图形方式估计这些概率在所有可能值上的分布。

为什么 PDF 不能给出某个值的精确概率？

在连续分布中，变量取特定值的概率为零，因为这样的变量可以取各种值。PDF 不描述离散概率的计数；PDF 显示给定变量的某些事件的可能性。PDF 不提供单个点的可能性精确值，而是让您有机会计算变量介于多个值之间的概率。这就是为什么它更适合量化时间、重量或温度等事物，其中值不是有限的，而是在整个范围内连续变化的，而不是以整数形式存在。

PDF 在生活中有什么用？

PDF 已在许多行业和科学领域得到应用。在金融领域，它们用于建模资产回报和风险建模。PDF 用于工程估算，以预测特定组件的故障率。在医学领域，它们分析诸如患者生存期之类的事物。它们由环境科学家用于预测降雨量或温度范围。分类和其他任务，例如异常搜索，也涉及机器学习算法中的 PDF。基本上，在任何需要了解连续变量在一段时间或一组条件下如何行为的情况下，PDF 都是一种非常有效的建模和决策方式。

PDF 在检查数据分布方面有什么用？

PDF 以视觉和数学方式解释连续变量的值分布。通过查看 PDF 曲线，可以确定数据是否呈现偏斜、是否具有集中趋势或是否是多模态（具有多个峰值）。这有助于解释模式和异常值，或确定如何对数据进行分类或分桶以进行进一步分析。PDF 的另一个有用功能是它们可以自动计算值落在某个范围内的概率，这在值落在某个范围比知道实际数字更重要的情况下很有用。

PDF 曲线下的面积有意义吗？

是的，PDF 曲线下特定范围内的部分对应于变量在该特定范围内的概率。这就是 PDF 的用武之地：它们使用抽象的密度值并将其转换为可理解的概率。例如，假设您正在检查交付时间的分布，并且您想知道包裹在 3 到 5 天内交付的概率是多少。在这种情况下，包裹在 3 到 5 天内到达的可能性是 PDF 在 3 和 5 之间的面积。所有曲线的面积始终为 1，相当于 100% 的概率。

PDF 的典型形状有哪些，它们说明了什么？

PDF 的格式可以是任何形式，具体取决于数据的分布。当分布呈现钟形曲线形式时，很有可能分布是正态的，值聚集在中心均值附近。偏斜曲线意味着数据倾向于一个方向。我们可以说偏左或偏右。均匀 PDF 在整个范围内均匀分布，这意味着在整个范围内存在同样可能的值。双峰分布表示有两个峰值，这一点意味着两个峰值表示数据中存在两种主要值/趋势。PDF 形状的可视化有助于解释连续信息集中的趋势、变异性和一般行为。