函数

它是一种映射，其中集合 A 的每个元素都与集合 B 的元素唯一关联。集合 A 称为函数的定义域，集合 B 称为函数的陪域。

函数的定义域、陪域和值域

函数的定义域：设 f 是从 P 到 Q 的函数。集合 P 称为函数 f 的定义域。

函数的陪域：设 f 是从 P 到 Q 的函数。集合 Q 称为函数 f 的陪域。

函数的值域：函数的值域是其定义域的图像集。换句话说，我们可以说它是其陪域的子集。它表示为 f（定义域）。

示例：查找函数的定义域、陪域和值域。

解决方案

Domain of function: {1, 2, 3, 4}
Range of function: {a, b, c, d}
Co-Domain of function: {a, b, c, d, e}

作为集合的函数

如果 P 和 Q 是两个非空集合，则从 P 到 Q 的函数 f 是 P x Q 的子集，具有两个重要的限制

1. ∀ a ∈ P，(a, b) ∈ f 对于某个 b ∈ Q
2. 如果 (a, b) ∈ f 且 (a, c) ∈ f 则 b = c。

注意 1：Q 中可能有一些元素与集合 P 的任何元素无关。

2. P 的每个元素必须与 Q 的至少一个元素相关。

示例 1：如果集合 A 包含 n 个元素，那么从 A 到 A 有多少个函数？

解决方案：如果集合 A 包含 n 个元素，则从 A 到 A 有 nⁿ 个函数。

函数的表示

两个集合 P 和 Q 由两个圆表示。 函数 f: P → Q 由连接点的箭头集合表示，这些点代表 P 的元素以及 Q 的对应元素

示例 1

那么 f 可以用图解表示如下

示例 2：设 X = {x, y, z, k} 和 Y = {1, 2, 3, 4}。 确定哪些是以下函数。 如果不是，请给出理由。 如果是函数，请查找值域。

1. f = {(x, 1), (y, 2), (z, 3), (k, 4)}
2. g = {(x, 1), (y, 1), (k, 4)}
3. h = {(x, 1), (x, 2), (x, 3), (x, 4)}
4. l = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (k, 1)}
5. d = {(x, 1), (y, 2), (y, 3), (z, 4), (z, 4)}。

解决方案

1. 它是一个函数。 值域 (f) = {1, 2, 3, 4}
2. 它不是一个函数，因为 X 的每个元素不与 Y 的某些元素相关，即 Z 与 Y 的任何元素无关。
3. h 不是一个函数，因为 h (x) = {1, 2, 3, 4}，即元素 x 在集合 Y 中有多个图像。
4. d 不是一个函数，因为 d (y) = {2, 3}，即元素 y 在集合 Y 中有多个图像。