离散数学中的反函数

如果有一个函数 f，那么它的反函数可以用 f^-1 表示。我们也可以将常数函数称为反函数，因为将这个函数反转为另一个函数非常容易。换句话说，我们可以说，如果有一个函数 f 将“x 映射到 y”，那么反函数 f 将将“y 映射到 x”。假设有一个原函数 f 和一个反函数 f^-1。对于反函数，f 的定义域将成为 f^-1 的值域。同样，f 的值域将成为 f^-1 的定义域。我们可以通过将 (x, y) 替换为 (y, x) 并参照直线 y = x 来获取反函数 f^-1 的图。这里我们不应该混淆 -1 和指数或倒数，因为 f^-1 不是 f 的倒数。我们将通过原函数 f 和倒数函数 f^-1 的复合以以下方式获得定义域值 x：

(f o f-1) (x) = (f-1 o f) (x) = x

如果我们有两个反函数 f 和 g，那么当 f(x) = y 且 g(y) = x 时成立。

我们曾在三角学中学习过反三角函数的使用，我们使用这个函数来确定能够生成值的角度。例如：sin^-1(1) = sin^-1(sin 90) = 90 度。这里 sin 90 度 的值是 1。

现在我们将学习反函数的定义、步骤、图表和示例。

反函数定义

当定义域中的每个元素 x ∈ X 都必须与值域中的每个元素 y ∈ Y 建立映射时，一个函数才被称为反函数。我们也可以将这种关系称为内射关系或一对一关系。假设给定函数 f 的反函数 f^-1 中，定义域 y ∈ Y 与共域集中的不同元素 x ∈ X 建立映射。在这种情况下，关于函数 f 的关系将被称作满射函数或映上函数。因此，那些既是一对一又是满射函数的反函数被称为双射函数。

假设有一个函数 f，它有两个集合 X 和 Y。这里，集合 X 用于表示定义域，集合 Y 用于表示共域。如果存在另一个函数 g，其定义域由集合 Y 表示，其共域由集合 X 表示，则该函数是可逆的。函数 f 和 g 可以以下列方式表示：

在上述情况下，如果函数 f(x) 是逆函数，那么它的逆函数 g(x) 将始终是唯一的。如果两个函数 f(x) 和 g(x) 的复合结果是恒等函数 f(g(x)) = x，那么这两个给定的函数将互为逆函数。假设我们有一个原函数 f 和一个逆函数 f^-1。在逆函数的情况下，f 的定义域将成为 f^-1 的值域。同样，f 的值域将成为 f^-1 的定义域。

注意

• 当在特定方程中，自变量与因变量互换时，所产生的逆函数可能不是一个函数。
• 当一个函数的逆函数就是其本身时，这种函数被称为反函数，用 f^-1(x) 表示。

寻找反函数的步骤

我们可以通过以下步骤轻松确定反函数。这里我们假设一个函数 f，其中 f(x) = ax + b，然后尝试通过以下步骤确定这个函数的反函数：

1. 对于上述函数 f(x) = ax + b，我们将 f(x) = y 替换，然后得到 y = ax + b。
2. 在这个函数中，我们将 y 与 x 互换，x 与 y 互换。互换后，y = ax + b 将变为 x = ay + b。
3. 现在我们将解此表达式 x = ay + b 以求得 y。解完此表达式后，我们将得到 y = (x - b) / a。
4. 最后，我们将 y = f^-1(x) 替换，然后得到 f^-1(x) = (x - b) / a。

求函数的反函数

在求反函数的过程中，我们通常交换坐标 x 和 y。这个新创建的反函数不一定是函数，但它必须是一个关系。新创建的反函数只有在原函数是一对一函数的情况下才被表示为函数，因为我们知道内射函数的反函数始终是函数。如果一个集合的每个元素都与另一个集合的唯一元素进行映射，那么这个函数被称为一对一函数。

我们可以通过水平线测试来判断给定函数是否为一对一函数或内射函数。如果水平线只在单个区域与原函数相交，则该函数为一对一函数，其反函数也将是函数。

反函数的类型

我们有各种类型的反函数。其中一些是：对数函数的反函数、有理函数的反函数、三角函数的反函数和双曲函数的反函数。一些函数的反函数描述如下：

反三角函数

我们也可以将反三角函数称为弧函数。这是因为反三角函数用于生成弧的长度，该弧用于获取特定值。我们共有 6 种反三角函数。这些函数是反割函数 (sec^-1)、反余切函数 (cot^-1)、反正弦函数 (sin^-1)、反余割函数 (csc^-1)、反余弦函数 (cos^-1) 和反正切函数 (tan^-1)。

反关系函数

反关系必须采用 f(x) = P(x) /Q(x) 的形式，其中 Q(x) 不等于 0。我们将使用以下步骤来确定关系函数的反函数。

步骤 1：在此步骤中，我们将 f(x) 替换为 y。

步骤 2：之后，我们将 x 和 y 互换。

步骤 3：现在，我们将用 x 表示 y。

步骤 4：最后，我们将 y 替换为 f^-1(x)。由此，我们将得到函数的反函数。

反双曲函数

与反三角函数相同，此函数也是双曲函数的反函数。我们共有 6 种反双曲函数。这些函数是：csch^-1, sech^-1, cosh^-1, coth^-1, sinh^-1, 和 tanh^-1。

反指数函数和反对数函数

自然对数函数可以描述为指数函数的反函数。现在我们将通过以下示例理解对数函数和反指数函数。我们还将学习如何通过此示例解决类似类型的问题。

用代数方法求反函数

这里我们将尝试用代数方法找到反函数。为此，我们将把 f(x) 用 y 代替，然后解出 x。具体描述如下表所示：

反函数的图

反函数可以描述为原函数关于直线 y = x 的反射，我们可以通过将 (x, y) 替换为 (y, x) 来得到它。直线 y = x 的图形将穿过原点，且斜率为 1。我们可以用以下方式表示它：

y = f^-1(x)

它等于以下内容

x = f(y)

上述关系与 y = f(x) 相同。这里 f(x) 用于表示 f 的图，但在此关系中，x 和 y 的位置互换。如果我们绘制反函数 f^-1 的图，我们将交换坐标轴上 x 和 y 的位置。

如果我们有两个函数的图形，在这种情况下，我们可以很容易地找出它们是否互为反函数。当且仅当两个函数的图形关于直线 y = x 对称时，它们才互为反函数。我们自信地说出这个事实，因为我们知道当 (x, y) 位于函数上时，(y, x) 位于其反函数上。

反函数的例子

反函数有各种各样的例子。下面将介绍一些反函数的例子：

示例 1：在此示例中，我们将考虑两个函数 f 和 g。其中 f(x) = 2x + 3 且 g(x) = (x-3) / 2。现在我们必须借助反函数公式确定这些函数的反函数。

解决方案

这里我们需要证明 (f o g)(x) = (g o f)(x) = x。

为了证明这一点，我们首先取左侧部分，描述如下：

(f o g)(x) = f (g(x))

= f ((x-3) /2)

= 2 ((x-3) /2) + 3 (2 被 2 抵消)

= x-3+3

= x

现在我们将采取右侧部分并尝试像这样证明它

(g o f)(x) = g (f(x))

= g(2x+3)

= (2x +3 -3) /2

= 2x /2

= x

通过这个，我们可以看到 (f o g)(x) = (g o f)(x) = x。

借助逆公式，我们可以说 f 和 g 互为逆函数。

因此，我们已证明 f = g^-1 且 g = f^-1。

示例 2：在此示例中，我们有一个函数 f。其中 f(a) = 4a+1 /3a-2。现在我们必须借助反函数公式确定反函数。

解决方案

这里我们将使用反函数公式来确定反函数。

众所周知，给定函数为

b = (4a+1) / (3a-2)

当我们交换 x 和 y 时，我们将得到以下结果

a = (4b+1) / (3b-2)

现在我们将解出 y 的表达式。为此，我们将两边都乘以 (3b-2) 并得到以下结果：

a(3b - 2) = 4b+1

3ab - 2a = 4b+1

3ab - 4b = 2a+1

b(3a - 4) = 2a+1

b = 2a+1 /3a-4

现在我们将 b 替换为 f^-1(a)，并得到以下结果：

f^-1(a) = 2a+1 /3a-4

因此，反函数的值为 2a+1 /3a-4。

示例 3：在此示例中，我们有一个函数 f(x) = (3x+2) / (x-1)。现在我们必须确定这个函数的反函数。

解：为了解决这个问题，我们首先将函数 f(x) 替换为 y，然后函数变为这样：

y = (3x+2) / (x-1)

现在我们将 x 替换为 y，然后得到以下结果

x = (3y+2) / (y=1)

现在我们将用 x 来解 y，如下所示：

x(y-1) = 3y+2

？ xy - x = 3y+2

？ xy - 3y = 2+x

？ y (x - 3) = 2+x

？ y = (2+x) / (x-3)

所以我们可以说 y = f^-1(x) = (x+2) / (x-3)