离散数学中的对称矩阵

在离散数学中，我们可以将对称矩阵定义为一个与其转置矩阵相似的方阵。如果一个矩阵包含相同数量的行和列，我们可以称之为方阵。如果有一个矩阵A，那么这个矩阵的转置将用符号 A^T 表示。如果一个矩阵满足条件 A = A^T，那么该矩阵将是一个对称矩阵。我们有多种类型的矩阵，但最重要且最常用的一种是​​对称矩阵。在本节中，我们将学习对称矩阵、其性质、对称矩阵的定理、对称矩阵和斜对称矩阵的区别、对称矩阵的例子等等。

什么是对称矩阵

如果有一个方阵，当我们计算这个矩阵的转置后它保持不变，那么我们可以称它为对称矩阵。也就是说，在对称矩阵的情况下，原始矩阵与其转置矩阵是相同的。

对称矩阵的定义

假设有一个大小为 n*n 的方阵 B。当且仅当 B^T = B 时，该矩阵被认为是​​对称的。如果给定的方阵 B 与其转置矩阵相似，那么我们可以称该矩阵为对称矩阵。对称矩阵可以表示为以下方式

如果存在一个对称矩阵 B = [bij]_n∗n，那么对于所有的 i 和 j 或 1 ≤ i, j ≤ n，都有 bij = bji。这里

• n 用于表示任何自然数
• bij 用于表示位置 (i, j) 处的元素。在给定的矩阵 B 中，i 用于表示行，j 用于表示列。
• bji 用于表示位置 (j, i) 处的元素。在给定的矩阵 B 中，j 用于表示行，i 用于表示列。

矩阵的转置

如果我们交换原始矩阵的行或列的元素，那么这个矩阵就被称为转置矩阵。我们可以用符号 T 来表示矩阵的转置。如果有一个 n*m 的矩阵，那么它的转置矩阵将表示为 m*n。现在我们将通过一个例子来理解转置的概念，描述如下

示例 1： 假设我们有一个 2*2 的矩阵 A。这里我们需要确定矩阵 A 的转置。矩阵 A 的元素描述如下

解： 对于转置矩阵，我们将第一行变为第一列，第二行变为第二列，如下所示

这里 A ≠ A^T。所以这个矩阵不是对称矩阵。

示例 2： 在此示例中，我们有一个 3*3 的矩阵 A。我们需要确定矩阵 A 的转置。矩阵 A 的元素描述如下

解： 为了执行该矩阵的转置，我们将第一行变为第一列，第二行变为第二列，第三行变为第三列，如下所示

这里 A = A^T。因此它是一个对称矩阵。

确定对称矩阵的步骤

要确定一个矩阵是否为对称矩阵，需要遵循一些步骤。这些步骤描述如下

步骤 1： 在这一步中，我们将确定一个矩阵的转置。

步骤 2： 在这一步中，我们将检查原始矩阵和其转置矩阵是否相似。

步骤 3： 如果原始矩阵和转置矩阵相似，那么该矩阵就被称为对称矩阵。

现在我们将借助一个例子来理解这个概念，描述如下

假设我们有一个矩阵 A，其中

该矩阵的转置描述如下：

原始矩阵 A 和其转置矩阵 A^T 彼此相似。因此 A 是一个对称矩阵。

对称矩阵示例

现在我们将借助一个例子来理解对称矩阵。假设我们有一个 3*3 的方阵 B，其中

矩阵 B 的转置描述如下

在此示例中，我们有 B^T = B。例如，b12 = b21 = 3 和 b13 = b31 = 6。因此，我们可以说 B 是一个对称矩阵。现在我们将展示更多对称矩阵的例子，但阶数不同。

示例 1： 在此示例中，我们将展示一个 2*2 阶的对称矩阵，即

在这个矩阵中，我们可以看到我们有一个包含 4 个元素的方阵。这些元素以 2 行 2 列的形式排列。

示例 2： 在此示例中，我们将展示一个 3*3 阶的对称矩阵，即

在这个矩阵中，我们可以看到我们有一个包含 9 个元素的方阵。这些元素以 3 行 3 列的形式排列。

示例 3： 在此示例中，我们将展示一个 4*4 阶的对称矩阵，即

在这个矩阵中，我们可以看到我们有一个包含 16 个元素的方阵。这些元素以 4 行 4 列的形式排列。

对称矩阵的性质

对称矩阵有多种性质，其中一些描述如下

• 如果有两个对称矩阵，我们对这些矩阵进行加法或减法运算，那么我们总会得到一个对称矩阵作为结果矩阵。
• 在乘法运算的情况下，我们并不总是得到一个对称矩阵作为结果。假设我们有两个对称矩阵 A 和 B，并且我们对这些矩阵进行乘法运算。在这种情况下，当且仅当这些矩阵遵循乘法交换律，即 AB = BA 时，结果矩阵 AB 才是对称的。
• 如果有一个对称矩阵 A，那么 Aⁿ 也将是对称的，其中 n 用于表示整数 n。
• 如果存在一个逆矩阵 A^-1，那么当且仅当矩阵 A 是对称的，它也将是对称的。

对称矩阵的定理

对于对称矩阵，我们有两个重要的定理。这里我们将学习这两个定理及其证明。

定理 1： 如果有一个包含实数元素的方阵 B，在这种情况下，B + B^T 将是一个对称矩阵，而 B - B^T 将是一个斜对称矩阵。

证明

这里我们假设

A = B + B^T

现在我们对假设的矩阵 A 取转置，得到如下结果

A^T = (B + B^T)^T= B^T+ (B^T)^T= B^T+ B = B + B^T= A

这表明 B + B^T 是一个对称矩阵。

之后，我们假设

C = B - B^T

现在我们对假设的矩阵 C 取转置，得到如下结果

C^T = (B + (-B^T))^T= B^T+ (- B^T)^T= B^T- (B^T)^T= B^T - B = -(B - B^T) = -C

这表明 B - B^T 是一个斜对称矩阵。

定理 2： 如果有一个方阵，那么我们可以将这个矩阵写成一个对称矩阵和一个斜对称矩阵的和。借助以下公式，我们可以确定一个斜对称矩阵和一个对称矩阵的和。

假设有一个方阵 B。那么，

B = (1/2) × (B + B^T) + (1/2) × (B - B^T)。这里矩阵 B 的转置用符号 B^T 表示。

• 如果一个对称矩阵用 B + B^T 表示，那么 (1/2) × (B + B^T) 也将表示一个对称矩阵。
• 如果一个斜对称矩阵用 B - B^T 表示，那么 (1/2) × (B - B^T) 也将表示一个斜对称矩阵。

因此，如果有一个方阵，那么我们可以将这个矩阵写成一个斜对称矩阵和一个对称矩阵的和。

示例： 在此示例中，我们有一个矩阵 B，我们必须将其表示为一个对称矩阵和一个斜对称矩阵的和的形式。矩阵 B 的元素描述如下

解： 正如我们所学，我们可以将这个矩阵写成一个斜对称矩阵和一个对称矩阵的和。所以我们也可以将矩阵 B 表示为以下方式

B = (1/2) × (B + B^T) + (1/2) × (B - B^T)

其中

(1/2) × (B + B^T) 用于表示对称矩阵

(1/2) × (B - B^T) 用于表示斜对称矩阵

通过以下方式，我们可以计算一个对称矩阵和一个斜对称矩阵的和

其中

用于表示对称矩阵，以及

用于表示斜对称矩阵。

对称矩阵和斜对称矩阵的区别

对称矩阵和斜对称矩阵之间有密切的关系。我们可以展示对称矩阵和斜对称矩阵之间的一个主要区别。这个区别描述如下

关于对称矩阵的要点

在学习非奇异矩阵的概念时，我们应该了解一些要点。这些要点描述如下

• 如果方阵和其转置矩阵相似，那么这个矩阵将被称为对称矩阵。
• 如果我们尝试将两个对称矩阵相加，我们将得到一个对称矩阵作为结果矩阵。
• 方阵在所有非对角线位置上都包含零元素。这就是为什么每个方形对角矩阵都将被认为是​​对称的。
• 如果任何对角矩阵和其转置矩阵相似，在这种情况下，这些类型的矩阵将自动成为对称矩阵。

对称矩阵的例子

对称矩阵有很多例子，其中一些描述如下

示例 1： 在此示例中，我们有两个矩阵，我们必须确定哪个矩阵是对称矩阵。

解： 这里，我们首先检查矩阵 A 是否是对称矩阵

这里我们有 A^T = -A。

因此，矩阵 A 不是一个对称矩阵。这个性质满足斜对称矩阵的条件。因此这个矩阵不是对称矩阵，而是斜对称矩阵。

现在我们用以下方式检查第二个矩阵 B

这里我们有 B^T = B。

因此矩阵 B 是一个对称矩阵。

答案：矩阵 A 是一个斜对称矩阵，矩阵 B 是一个对称矩阵。

示例 2： 在此示例中，我们有两个矩阵，我们必须确定给定的矩阵是否是对称矩阵。

解： 这里，我们首先检查矩阵 M 是否是对称矩阵。为此，我们将对矩阵 M 进行转置，得到如下结果

这里我们可以看到矩阵 M 和其转置矩阵 M^T 并不相似。因此矩阵 M 不是对称矩阵。

现在我们将检查矩阵 P 是否是对称矩阵。所以我们再次像这样检查矩阵 P 的转置

这里我们可以看到矩阵 P 和其转置矩阵 P^T 并不相似。因此矩阵 P 不是对称矩阵。

答案：矩阵 M 和矩阵 P 都不是对称矩阵。

示例 3： 在此示例中，我们有一个矩阵 A，矩阵 A 的元素描述如下

这里我们必须确定哪个选项对矩阵 A 是正确的。

1. 对称矩阵
2. 斜对称矩阵
3. 对称和斜对称矩阵
4. 以上都不是

解： 矩阵 A 及其转置描述如下

这里我们可以看到矩阵 A 和其转置矩阵 A^T 是相似的。因此矩阵 A 是一个对称矩阵。

答案：正确选项是 (a)。

示例 4： 在此示例中，我们有一个对称矩阵 A，其中

现在我们必须确定 a 和 b 的值。

解： 从问题中我们知道 A 是一个对称矩阵。所以 A^T = A。

现在我们用以下方式比较对应的元素

a + 2 = 1 ⇒ a = -1

b - 3 = 2 ⇒ b = 5

答案：a 的值是 -1，b 的值是 5。