离散数学中的方阵

在离散数学领域，最常用的元素是矩阵。矩阵用于包含数字的矩形数组，所有这些数字、表达式或符号都将以行和列的形式排列。行元素以水平方式排列，列元素以垂直方式排列。通过行数和列数，我们可以确定矩阵的阶数。如果一个矩阵包含 3 行 2 列，那么这个矩阵的阶数将是 3*2。同样，如果一个矩阵包含相等数量的行和列，那么这种类型的矩阵将是方阵。

在矩阵领域，有一个重要的格式称为方阵。这种类型的矩阵用于包含完美平方数的元素。该矩阵包含相等数量的行和列。这就是为什么这个矩阵的阶数总是 n*n。我们可以对一个方阵应用各种矩阵运算，例如伴随矩阵、逆矩阵、转置矩阵、行列式以及矩阵的数学运算。在本节中，我们将学习方阵、它的转置、行列式、逆矩阵、矩阵运算、方阵的例子以及更多内容。

什么是方阵

如果矩阵中的行数和列数相等，则该矩阵称为方阵。方阵的阶数将是 n*n 的形式。如果我们对两个方阵进行加法或乘法运算，则结果矩阵的阶数将相同。因此，我们可以说这个过程中的元素数量将始终是一个完全平方数。假设我们正在尝试解决一个关于两个变量的二次方程的问题。在这种情况下，我们可以很容易地通过方阵来做到这一点，因为该矩阵对此有特殊应用。方阵的典型形式如下所示

方阵的例子

方阵有各种各样的例子，其中一些描述如下

示例 1： 在此示例中，我们有一个矩阵 X，其描述如下

在上面的示例中，有一个矩阵，其行数和列数相等，都是 3。我们可以说矩阵的阶数是 3*3。因此，矩阵 X 是一个方阵。如果我们想确定 3*3 方阵的行列式，我们也可以做到。

示例 2： 在此示例中，我们有另一个矩阵 Y，其描述如下

在上面的示例中，有一个矩阵，其中行数为 2，列数为 4。由于该矩阵不包含相等数量的行和列。因此，矩阵 Y 不是方阵。

基于阶数的方阵示例

在这里，我们将展示不同阶数的方阵，其描述如下

二阶方阵

二阶方阵的通用形式描述如下

在此图像中，我们可以看到一个二阶矩阵。该矩阵包含 4 个元素，这些元素以 2 行 2 列的形式排列。因此，该矩阵是一个方阵。

例如

在上面的示例中，有一个 2*2 的方阵 A。该矩阵的对角线是 8、6，这是主对角线。这里 8 和 6 也被称为对角线元素。

三阶方阵

三阶方阵的通用形式描述如下

在此图像中，我们可以看到一个三阶矩阵。该矩阵包含 9 个元素，这些元素以 3 行 3 列的形式排列。因此，该矩阵是一个方阵。

例如

在上面的示例中，有一个 3*3 的方阵 A。该矩阵的对角线是 7、2、6，这是主对角线。这里 7、2 和 6 也被称为对角线元素。

四阶方阵

四阶方阵的通用形式描述如下

在此图像中，我们可以看到一个四阶矩阵。该矩阵包含 16 个元素，这些元素以 4 行 4 列的形式排列。因此，该矩阵是一个方阵。

例如

在上面的示例中，有一个 4*4 的方阵 A。该矩阵的对角线是 8、1、0、4，这是主对角线。这里 8、1、0 和 4 也被称为对角线元素。

方阵的转置

对于给定的矩阵，如果行值变成列值，列值变成行值，那么这种类型的矩阵将被称为该矩阵的转置。通常，当我们改变矩阵为转置矩阵时，矩阵的阶数也会改变。如果一个矩阵的阶数是 m*n，那么它的转置矩阵的阶数将是 n*m。对于方阵，给定矩阵和转置矩阵具有相同的阶数。方阵转置的例子描述如下

有两个与矩阵转置概念相关的术语，即对称矩阵和斜对称矩阵。对称矩阵可以描述为给定方阵及其转置矩阵相似的矩阵。斜对称矩阵可以描述为给定方阵的转置及其负数相似的矩阵。对称矩阵和斜对称矩阵的语法描述如下

Symmetric matrix: AT = A
Skew-symmetric matrix: AT = -A

方阵的行列式

借助公式，我们可以非常轻松地计算一个阶数为 2*2 的矩阵的行列式。如果我们对矩阵的对角线元素进行乘法减法，就可以得到 2*2 阶矩阵的行列式。假设有一个阶数为 2*2 的矩阵 A。该矩阵 A 的行列式可以按以下方式计算

方阵的逆

在方阵求逆的过程中，一个矩阵将被另一个矩阵除。我们只能通过找出一些东西来确定方阵的逆。为了确定方阵的逆，我们需要首先确定矩阵的行列式。之后，我们将计算方阵的伴随矩阵。最后，我们将用伴随矩阵除以行列式，这样我们就可以得到该矩阵的逆。

在学习方阵的逆时，有一个我们应该知道的重要术语，即正交矩阵。如果一个方阵的转置与其逆矩阵相似，那么这种类型的方阵将被称为正交矩阵。借助以下表达式，我们可以表示正交矩阵

Orthogonal matrix: AT = A-1

方阵上的矩阵运算

对于方阵，可以执行三种数学运算，即乘法、加法和减法。

方阵的加法和减法

对于两个方阵的加法或减法，我们将通过将矩阵的对应元素相加或相减来得到结果矩阵。矩阵加法有一个重要点，即它遵循交换律（A + B = B + A）。假设有两个方阵 A 和 B，它们的阶数均为 3*3。这些矩阵的加法过程描述如下

方阵加法的例子描述如下

在这个例子中，我们轻松地执行了方阵的加法。这里我们将第一个矩阵的值加到第二个矩阵的对应值上。

假设有两个方阵 A 和 B，它们的阶数均为 2*2。这些矩阵的加法和减法过程描述如下

方阵的乘法

矩阵标量乘法非常容易。如果我们想将一个方阵乘以一个常数矩阵，在这种情况下，我们必须将矩阵的每个元素乘以该常数。

为了相乘两个方阵，需要遵循一系列步骤。假设有两个 2*2 阶的方阵。在第一个矩阵中，我们将考虑行元素，在第二个矩阵中，我们将考虑列元素。有两个 2*2 的方阵，这些矩阵的乘法描述如下

在进行矩阵乘法时，有一些计算顺序将被遵循。我们将通过一个示例来理解这些步骤，该示例描述如下

方阵中使用的重要术语

在这里，我们将看到一些在学习方阵概念时使用的重要术语。这些术语将有助于深入理解方阵的概念，描述如下

矩阵的阶数：矩阵的阶数可以通过行数和列数的乘积来计算。对于方阵，矩阵中的行数和列数将是相等的。这是因为方阵的阶数将是 n*n。

矩阵的迹：矩阵的迹可以通过将方阵的对角线元素相加来计算。

对称矩阵：如果给定矩阵及其转置矩阵相似，则该矩阵称为对称矩阵。

正交矩阵：如果矩阵的转置与其逆矩阵相似，在这种情况下，该矩阵将是正交矩阵。

单位矩阵：如果一个方阵的对角线元素都等于 1，而对角线以外的所有元素都等于 0，在这种情况下，该矩阵将是单位矩阵。

斜对称矩阵：如果一个矩阵的负数与其转置矩阵相似，在这种情况下，该矩阵将是斜对称矩阵。

标量矩阵：如果一个方阵包含所有相同的数字，或者如果给定矩阵的所有对角线元素和所有其他元素都为 0，在这种情况下，该矩阵将是标量矩阵。

方阵的性质

方阵有很多性质，其中一些描述如下

• 对于方阵，行数和列数必须相互相似。
• 如果存在一个方阵，那么这个矩阵的所有对角线元素之和被称为矩阵的迹。
• 如果存在一个方阵，并且这个矩阵的所有对角线元素都为 1，在这种情况下，这个矩阵将被称为单位矩阵。
• 方阵可以执行不同种类的运算，例如求逆运算。
• 仅对于方阵，我们才能够计算行列式的值。
• 对于方阵，原矩阵和转置矩阵都具有相同的阶数。