压缩线段树并在 O(N*logN) 中合并集合

引言

高效地管理数据结构是算法问题解决的核心。在这个领域出现的众多挑战中，对大型数据集执行集合操作和范围查询是一项常见任务。一种应对这些挑战的强大方法是使用压缩线段树。

理解线段树

在深入探讨压缩线段树的概念之前，让我们先通过理解普通线段树来建立基础。线段树是一种二叉树数据结构，用于表示数组。树的每个节点代表数组中的一个元素范围，叶子节点代表单个元素。

线段树广泛用于数组的范围查询和更新。它们能够以 O(logN) 的时间复杂度执行查找给定数组元素范围内和、最小值、最大值或任何关联操作。这种效率来自于数组中的每个元素都存储在线段树的多个节点中的属性。

合并集合的挑战

考虑一种情况，您拥有多个集合，需要高效地合并它们，同时还能查询所有集合中给定范围内的元素数量。这种情况出现在各种问题中，例如维护动态频率计数、查找范围内的不同元素或计算集合的并集。

一种直接的方法是朴素地合并集合，从而得到一个可以由基本数据结构查询的合并集合。然而，这种方法的时间复杂度很差，通常为 O(N^2)，对于大型数据集来说效率很低。

引入压缩线段树

压缩线段树是普通线段树的一种创新扩展，在处理集合合并和范围查询方面表现出色。它们通过避免不必要的内存使用并专注于关键节点来实现这种效率。

压缩线段树的核心思想是利用我们正在合并的集合具有许多共同元素的这一事实。与其为每个单独的集合构建线段树，不如构建一个覆盖所有集合的单个压缩线段树。这个共享树消除了重复存储公共元素的需要，并优化了内存使用。

在压缩线段树中，每个节点仍然代表一个元素范围。但是，与普通线段树不同的是，并非每个元素都有自己的节点。相反，只有所有集合中的唯一元素才存储在节点中。这种压缩大大减小了内存占用。

构建压缩线段树

构建压缩线段树的过程包括以下步骤：

收集唯一元素： 收集集合中的所有唯一元素并对其进行排序。此排序列表将作为构建树的基础。

映射元素到索引： 将每个唯一元素映射到排序列表中的一个索引。此索引将用于在树中定位元素。

构建树： 递归地将排序列表分成两半，并创建覆盖其范围的节点。每个节点存储其对应元素在集合中的出现次数。

传播信息： 在构建树的过程中，向上传播信息。例如，在求和查询中，每个节点存储其子节点之和。此信息有助于高效地回答范围查询。

合并集合与范围查询

通过构建压缩线段树，合并集合和执行范围查询变成了一个简单的过程：

合并集合： 要合并两个集合，请通过根据新集合中的元素增加其值来更新树中的相应节点。

范围查询： 对于范围查询，遍历树以定位代表所需范围内元素的节点，并计算相关信息，例如总和或计数。

时间复杂度分析

压缩线段树的优点在于其时间复杂度。由于排序步骤，构建压缩线段树需要 O(N*logN) 的时间。但是，一旦构建完成，合并集合和回答范围查询都需要 O(logN) 的时间，这使得这些操作即使对于大型数据集也非常高效。

优点和应用

压缩线段树提供了几个优点：

效率： 最显著的优点是其在集合合并方面优越的时间复杂度。这在处理传统方法表现不佳的大型数据集时尤其有利。

通用性： 虽然压缩线段树尤其适用于集合合并，但它们也可以适应其他基于范围的操作，使其成为一种通用的数据结构。

优化： 该树的压缩技术最大限度地减少了内存使用，并允许更快的遍历，从而为各种应用提供了优化的性能。

使用压缩线段树合并集合

压缩线段树的一个有趣应用是高效地合并集合。假设您有两个集合 A 和 B，您想将它们合并形成一个新的集合 C。此操作涉及取两个集合中元素的并集而不重复。传统合并集合的方法可能需要 O(N) 的时间复杂度，但使用压缩线段树，这可以在 O(N*logN) 的时间内实现。

说明

• 程序首先包含必要的库并定义常量。它还声明了用于存储集合 A 和 B 的合并数组、用于值压缩的哈希映射以及用于压缩线段树的数组的数据结构。
• build 函数递归地构建压缩线段树。它将范围分成更小的段，并计算每个段内的最小值。这允许高效地查询给定范围内的最小值。
• query 函数用于在压缩线段树上执行范围查询。它递归地遍历树，检查查询范围与当前树节点范围之间的交叉。
• 如果没有交叉，它将返回一个默认的最大值（INT_MAX）。如果查询范围完全包含在当前节点的范围内，则直接返回存储的最小值。否则，它会递归地查询左右子节点，并返回它们结果的最小值。
• 在 main 函数中，定义了两个示例集合 A 和 B。将这些集合合并并排序，然后去除重复项以创建 mergedArray。然后使用压缩哈希映射对 mergedArray 中的值进行压缩，其中每个值都被映射到其在排序数组中的压缩索引。
• 调用 build 函数来使用 mergedArray 的压缩索引构建压缩线段树。
• 使用 query 函数执行了两个示例查询。第一个查询查找合并数组中的第 6 小元素，第二个查询计算小于 9 的元素数量。结果打印到控制台。

程序输出

结论

总之，压缩线段树的利用提供了一种创新的解决方案，可以解决处理大型数据集和复杂操作时经常遇到的空间复杂度限制。通过使用这种高级数据结构高效地合并集合，我们已经证明了如何实现 O(N*logN) 的最优时间复杂度，这对于解决需要快速准确计算的实际问题至关重要。

压缩线段树的概念不仅使我们能够简化内存使用，还使我们能够以优雅高效的方式解决复杂的难题。

正如我们在实际实现中所见，该技术可用于合并集合，同时还可以进行查找第 k 小元素或计算小于给定值的元素数量等操作。这体现了算法实力与巧妙数据结构设计的结合的强大功能。

在一个数据呈指数级增长的世界里，利用压缩线段树的能力展示了计算机科学的动态本质。随着我们不断探索像这样的新方法，我们将开启优化和创新的新途径，确保我们能够充分应对当今和未来的挑战。