左右两侧下一个更大元素的索引的最大乘积

引言

在计算机科学和算法问题解决的领域，有许多挑战需要创新思维和高效的解决方案。一个这样引人入胜的问题是，找出数组中每个元素左右两侧下一个更大元素的索引乘积的最大值。这个问题不仅考验一个人遍历和操作数组的能力，也凸显了算法优化的重要性。

问题陈述

给定一个整数数组，我们称之为“arr”，我们的任务是找出数组中每个元素“arr[i]”的左侧下一个更大元素的索引和右侧下一个更大元素的索引乘积的最大可能值。更正式地说，对于每个元素 'arr[i]', 我们想找到 'left[i]' 和 'right[i]'，使得

• 'left[i]' 是 'arr[i]' 左侧最近的大于 'arr[i]' 的元素的索引。
• 'right[i]' 是 'arr[i]' 右侧最近的大于 'arr[i]' 的元素的索引。

我们的目标是使数组 'arr' 中所有 'i' 的乘积 'left[i] * right[i]' 最大化。

例如：

考虑数组：[4, 3, 2, 1, 5, 6]。每个元素的乘积将是：[5, 5, 5, 5, 6, 6]，如下所示

• 对于 4，左侧和右侧的下一个更大元素是 5，因此乘积是 5*5 = 25。
• 对于 3，左侧和右侧的下一个更大元素是 5，因此乘积是 5*5 = 25。
• 对于 2，左侧和右侧的下一个更大元素是 5，因此乘积是 5*5 = 25。
• 对于 1，左侧和右侧的下一个更大元素是 5，因此乘积是 5*5 = 25。
• 对于 5，左侧的下一个更大元素是 6，右侧的下一个更大元素是 6，因此乘积是 6*6 = 36。
• 对于 6，左侧的下一个更大元素是 6，右侧的下一个更大元素是 6，因此乘积是 6*6 = 36。

高效算法

为了高效地解决这个问题，我们可以使用基于堆栈的方法。我们将维护两个堆栈，一个用于存储左侧元素的索引，另一个用于存储右侧元素的索引，同时遍历数组。关键思想是找到每个元素左右两侧的下一个更大元素，并计算其索引的乘积。

以下是分步算法

• 初始化两个空堆栈，leftStack 和 rightStack。
• 初始化两个数组，leftGreater 和 rightGreater，用于存储每个元素左右两侧下一个更大元素的索引。
• 从左到右遍历数组
  1. 对于每个元素 arr[i], 当 leftStack 不为空且 arr[i] > arr[leftStack.top()], 从 leftStack 中弹出元素并将 leftGreater[leftStack.pop()] = i 设置为。
• 从右到左遍历数组
  1. 对于每个元素 arr[i], 当 rightStack 不为空且 arr[i] > arr[rightStack.top()], 从 rightStack 中弹出元素并将 rightGreater[rightStack.pop()] = i 设置为。
• 计算每个元素的乘积最大值
  1. 遍历数组，找到乘积最大值为 max(leftGreater[i] * rightGreater[i])。
• 返回结果。

实施

说明

• 程序中的主函数是 getMaxProductIndexes，它接受一个整数向量的引用作为输入，并返回另一个整数向量作为输出。
• 在该函数内部，初始化了几个关键变量，例如 n，它存储输入向量的大小。还创建并用 -1 值初始化了两个数组，leftGreater 和 rightGreater。
• 此外，还设置了两个堆栈数据结构，leftStack 和 rightStack，以方便中间计算。
• 程序继续计算 leftGreater 数组，该数组存储输入向量中每个元素左侧下一个更大元素的索引。
• 为此，它使用 leftStack 维护非递增的元素顺序，同时更新 leftGreater 数组。
• 在此之后，程序计算 rightGreater 数组，该数组负责存储输入向量中每个元素右侧下一个更大元素的索引。
• 通过反向遍历输入向量并以与 leftStack 类似的方式使用 rightStack 来完成此操作。
• 获得 leftGreater 和 rightGreater 数组后，程序继续确定输入向量中每个元素的索引乘积最大值。
• 它初始化一个名为 maxProductIndexes 的向量来保存这些乘积，以及另一个名为 maxProduct 的变量来跟踪迄今为止看到的最大乘积。
• 每个元素的乘积计算为 (leftGreater[i] + 1) * (rightGreater[i] + 1)， 其中 +1 是添加到索引以将 0 基索引转换为 1 基索引。

程序输出

时间和空间复杂度分析

理解算法的时间和空间复杂度至关重要，尤其是在处理较大的输入数组时。

时间复杂度

该算法遍历输入数组两次，一次从左到右，一次从右到左。每次遍历都需要 O(N) 时间，其中 N 是数组中的元素数量。

在每次遍历中，元素会被推入和弹出堆栈，但每个元素只处理一次。因此，总时间复杂度为 O(N)。

空间复杂度

空间复杂度主要由两个堆栈（leftStack 和 rightStack）使用的空间决定。在最坏的情况下，两个堆栈都可以包含所有 N 个元素。

因此，空间复杂度为 O(N)。

意义

这个问题在各种领域都有实际应用，包括数据分析和优化。例如，在金融领域，它可以帮助识别时间序列数据集中的关键点，您可能希望在这些点买卖资产。在计算机科学中，它与优化数据结构和算法相关。此外，它为算法问题解决提供了一个很好的练习，可以提高一个人在动态规划和数组操作方面的技能。

效率和用例

该算法的效率值得注意，因为它能够最佳地解决问题，而无需嵌套循环或过多的迭代。这使其适用于需要快速计算的现实场景。

解决“左右两侧下一个更大元素的索引乘积最大值”问题的用例包括：

• 股票交易策略：交易员可以使用此算法来分析历史股票价格数据，根据索引差异的最大乘积找到最佳的买卖点。
• 数据分析：数据分析师可以使用此算法来识别某些指标变化最大的区间，从而辅助决策和趋势分析。
• 自然语言处理 (NLP)：在 NLP 中，此算法可用于分析文本数据，识别两个或多个文档（如文章或散文）之间最重要的差异。
• 图像处理：在图像处理中，它可用于查找感兴趣的区域或计算两幅图像之间最重要的差异，这在计算机视觉的各种应用中可能很有用。

结论

总之，“左右两侧下一个更大元素的索引乘积最大值”问题是一个引人入胜的挑战，它考验一个人在算法技能和对数据结构（特别是单调栈）的理解。这个问题要求我们找出数组中每个元素左右两侧下一个更大元素的索引乘积的最大可能值。

通过使用两个单调栈，一个用于查找左侧的下一个更大元素，另一个用于查找右侧的下一个更大元素，我们可以在线性时间复杂度内高效地解决此问题。

解决该问题的关键步骤包括在维护这些栈的同时遍历数组、填充“左”和“右”数组，最后计算索引的最大乘积。该算法不仅优雅，而且展示了算法优化在高效解决现实世界问题中的重要性。

通过理解和实现该算法，程序员可以获得关于如何解决类似的数组相关问题的宝贵见解，使其成为他们问题解决工具箱中的宝贵补充。

“左右两侧下一个更大元素的索引乘积最大值”问题是数据结构、算法和创造力在解决复杂计算挑战中的交叉点的一个很好的例子。