如何在二叉搜索树中处理重复项？

引言

二叉搜索树 (BST) 是计算机科学中用于执行高效搜索、添加和删除操作的强大数据结构。但是，当处理可能包含重复值的数据集时，有效地管理这些重复项至关重要。

理解二叉搜索树

在我们开始处理重复项之前，让我们回顾一下二叉搜索树的基本原理。BST 是一种分层数据结构，由节点组成。每个节点最多有两个子节点：左子树和右子树。BST 的一个独特属性是，对于任何给定节点，其左子树中的所有节点的值都小于其值，而其右子树中的所有节点的值都大于其值。这种结构能够实现快速搜索，平均时间复杂度为 O(log n)。

处理重复项

在标准的 BST 中，每个节点预计都具有唯一的键。然而，信息中可能存在重复键。有几种方法可以处理 BST 中的重复项。

1. 基于计数的方法

• 一种简单的方法是，通过一个计数器来扩展 BST 的每个节点，以跟踪特定键的出现次数。
• 在插入重复键时，我们不是创建一个新节点，而是增加当前节点的计数器。
• 在搜索操作期间，我们需要适当地考虑重复项的数量并进行导航。

考虑一个二叉搜索树 (BST)，其中每个节点都扩展有一个计数器，用于跟踪特定键的出现次数。

我们应该将以下键插入 BST：[5, 3, 7, 5, 3, 7, 5, 8]。

• 最初，BST 是空的。

• 插入键 5

由于树是空的，我们创建一个值为 5 的新节点，并将其计数器设置为 1。

• 插入键 3

我们遍历树，发现 3 小于 5，因此我们转向左子树，它是空的。我们创建一个值为 3 的新节点，并将其计数器设置为 1。

• 插入键 7

7 大于 5，因此我们转向右子树。由于它是空的，我们创建一个值为 7 的新节点，并将其计数器设置为 1。

• 再次插入键 5

我们遇到一个值为 5 的节点。我们不是创建一个新节点，而是增加当前节点的计数器。

同样，再次插入键 3、7 和 5 会导致相应节点的计数器增加。

• 最后，插入键 8

在搜索操作期间

• 在查找键时，我们考虑副本的数量并相应地进行交叉。
• 例如，在查找键 5 时，我们会遇到计数为 3 的节点，并多次访问它以表示键 5 的所有出现。

2. 节点修改

• 另一种方法是修改每个节点的结构以允许重复项。
• 每个节点可能包含多个子节点，而不是仅仅拥有左子节点和右子节点，每个子节点代表一个重复的键。
• 这种方法需要谨慎处理节点的插入、删除和遍历，以维护 BST 的属性。

考虑一个二叉搜索树 (BST)，其中每个节点都已修改为允许重复。每个节点可能包含多个子节点，而不是仅仅拥有左子节点和右子节点，每个子节点代表一个重复的键。

我们应该将以下键插入 BST：[5, 3, 7, 5, 3, 7, 5, 8]。

• 最初，BST 是空的。

插入键 5

由于树是空的，我们创建一个值为 5 的新节点。

• 插入键 3

我们遍历树，发现 3 小于 5，因此我们转到左子树，它是空的。我们创建一个值为 3 的新节点。

• 插入键 7

7 大于 5，因此我们转到左子树。由于它是空的，我们创建一个值为 7 的新节点。

• 再次插入键 5

我们遇到一个值为 5 的节点。我们不是创建一个新节点，而是为当前节点添加另一个子节点来表示重复键。

同样，再次插入键 3、7 和 5 会导致为相应节点添加子节点。

最后，插入键 8。

遍历期间

• 在整体遍历期间，我们以非递减的顺序访问节点。因此，我们需要确保根据需要访问键的所有出现。

这种方法需要谨慎处理节点的插入、删除和遍历，以在允许节点内键的多次出现的同时维护 BST 的属性。

3. 插入期间的处理

• 在插入具有重复键的新节点时，我们可以选择将其放在当前节点的左侧或右侧。
• 一种常见的策略是将重复项放在当前节点的右侧，确保左子树只包含小于当前节点键的键。
• 或者，重复项可以放在左侧，形成一个镜像结构。

考虑一个二叉搜索树 (BST)，其中我们通过选择将重复项放在当前节点的左侧或右侧来处理插入期间的重复键。

我们应该将以下键插入 BST：[5, 3, 7, 5, 3, 7, 5, 8]。

• 最初，BST 是空的。

• 插入键 5

由于树是空的，我们创建一个值为 5 的新节点。

• 插入键 3

我们遍历树，发现 3 小于 5，因此我们转到左子树。我们创建一个值为 3 的新节点。

• 插入键 7

7 大于 5，因此我们转到右子树。我们创建一个值为 7 的新节点。

• 再次插入键 5

我们遇到一个值为 5 的节点。通过决定将重复项放在右侧，我们将重复键 5 插入到当前节点的右侧。

同样，再次插入键 3、7 和 5 会导致将重复项放在当前节点的右侧。

• 最后，插入键 8。

遍历期间

• 由于我们决定将重复项放在右侧，左子树只包含小于当前节点键的键，从而保证了 BST 的属性。

或者，重复项可以放在左侧，形成镜像结构。这种方法在处理重复键的同时保持了 BST 的属性，但节点布局不同。

4. 遍历和删除

• 在遍历（中序、前序、后序）期间，我们需要确保重复键的所有出现都被访问。
• 删除具有重复键的节点时，我们需要修改树结构，同时保持 BST 的属性。

考虑一个二叉搜索树 (BST)，其中我们需要确保在遍历期间访问重复键的所有出现。此外，在删除具有重复键的节点时，我们需要在保持 BST 属性的同时小心地修改树结构。

让我们处理包含重复键的 BST：[5, 3, 7, 5, 3, 7, 5, 8]。

遍历

• 在中序遍历期间，我们以非递减的顺序访问节点。因此，我们需要确保键的所有出现都被访问。
• 例如，在中序遍历期间，我们将按以下顺序访问节点：[3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 8]。

删除

• 假设我们要删除键为 5 的节点。
• 我们找到值为 5 的节点并将其从树中删除。
• 由于节点具有重复键，我们在修改树结构的同时必须小心，并保持 BST 的属性。
• 一种常见的策略是将节点替换为其在 BST 中的后继节点或前驱节点。
• 假设我们用它的后继节点替换它，即右子树中的最小键（中序后继）。
• 5 的中序后继是 7。

我们删除值为 5 的节点，并用值为 7 的节点替换它。

• 现在，树保持了 BST 的属性，并且重复键 5 的所有出现都已被删除。

这种方法确保在遍历期间访问重复键的所有出现，并且在删除期间，我们在保持 BST 属性的同时小心地修改了树结构。