零的计数

引言

在计算机科学和数学中，矩阵通常用于以结构化方式表示数据。考虑一个行向和列向都已排序的矩阵。

在这种方式下，矩阵的每一行和每一列都按升序排列。给定这样一个矩阵，您的任务是确定其中零的个数。这个问题比计算普通矩阵中的零更复杂，因为排序顺序允许更有效的方法。

挑战

挑战在于利用矩阵的排序特性来设计一种算法，该算法可以在不单独分析每个元素的情况下，最佳地计算零的个数。蛮力方法将包括遍历整个矩阵并计算零；但是，这不会利用排序顺序。

优化方法

为了有效解决此问题，您可以使用类似二分查找的技术来策略性地遍历矩阵。通过从矩阵的一个角开始，并根据排序矩阵的属性进行选择，可以更优化地确定零的个数。

算法步骤

1. 选择一个起点，可以是矩阵的右上角或左下角。
2. 根据当前元素与零的比较，向另一个角（向下和向左或向上和向右）移动。
3. 利用矩阵的排序性质，在每一步中排除整行或整列。
4. 重复此过程，直到覆盖整个矩阵。

实施

输出

上述程序的输出如下：

说明

所提供的 Python 代码旨在计算按行和列排序的矩阵中零的个数。让我们将代码分解为其关键组成部分并解释其功能：函数 `CZ (matrix)` 将 2D 矩阵作为输入并返回矩阵中零的个数。该算法从矩阵的左下角开始，并以利用其排序属性的方式遍历矩阵。以下是代码的分步解释：

1. 初始化

变量 `num` 设置为 5，表示方阵的维度。- 变量 `r` 和 `c` 分别初始化为 `num - 1` 和 `0`，表示从矩阵左下角开始。- 变量 `count number` 初始化为零，用于存储零的总数。

2. 主循环

外层循环（`while c < num`）从左到右遍历列。- 内层循环（`while matrix[r][c]`）在当前列中向上移动，直到找到第一个零或到达矩阵顶部（`r < zero`）。- 当前列中零的数量通过将 `(r 1)` 加到计数中来更新。这表示在给定列中从当前行到矩阵底部的零的数量。

3. 移动到下一列

完成一列后，外层循环递增 `c`，移动到下一列。

4. 结果

该函数返回矩阵中零的总数。

5. 示例矩阵

提供的矩阵是一个 5x5 排序矩阵，每行和每列包含不同数量的零。

总而言之，该代码通过利用其属性有效地计算排序矩阵中零的个数。它采用一种策略，从左下角开始，并以利用其排序性质的方式遍历矩阵，最终提供零的总数。

所提供的 Python 程序用于计算按行和列排序的矩阵中零的个数，它展示了一种利用矩阵有序属性的有效方法。

挑战时间或时间复杂度

嵌套循环通过矩阵核心确定函数的复杂度。外层循环返回到列，而内层循环形成一个行。在最坏情况下，算法可能会遍历整个矩阵，导致时间复杂度为 O(m + n)，其中“m”是行数，“n”是列数。但是，重要的是要注意，内层循环在遇到堆栈中的第一个零时就会终止。此属性使得在许多情况下，尤其是当矩阵中只有少量零时，实际时间复杂度优于 O(m + n)。

挑战空间或空间复杂度

该程序的空间复杂度非常小且恒定，为 O(1)。该程序使用的额外空间量是恒定的，与输入矩阵的大小无关。仅用于计算的变量，例如 `num`、`r`、`c` 和 `count`，不随输入的大小而变化。总之，该程序在时间效率和空间效率方面都经过精心设计。时间复杂度影响理论的形状，而空间复杂度非常小且恒定。这使得该算法适用于大型有序矩阵，而不会显著增加搜索要求。

结论

总之，行向和列向有序矩阵中零计数问题通过一种估计且高效的算法解决。给定的 Python 程序利用矩阵的结构特性来优化审计过程。

从左下角开始并以适当的顺序遍历矩阵，该算法正确地计算零的数量，而无需单独检查每个元素。程序的时间复杂度为 O(m + n)，其中“m”是字符数，“n”是字符数。

由于当遇到列中的第一个零时内层循环会提前终止，因此在简单零事件的情况下，实际性能可能会更好。此外，空间复杂度是恒定的，为 O(1)。因为该算法除了刻度尺和输入大小外，只使用固定数量的变量。

这种方法说明了使用算法设计有效解决问题的重要性，尤其是在处理结构化数据（如结构化矩阵）时。操纵数据独特特征的能力允许更定制的解决方案，使算法能够处理大型矩阵，同时提高资源效率。

总的来说，所提出的算法是解决结构化矩阵中零计数问题的实用且高效的解决方案，并有助于理解矩阵转换和分析的算法方法。