数据结构中的后缀树

后缀树介绍

在数据结构领域，我们遇到了一个被称为“后缀树”的实体。这种复杂的构造旨在保护一组字符串。在这种情况下，合并中的唯一后缀会汇聚到这个复杂集群中的单个节点或主分支中。

尽管构建后缀树有许多不同的方法，但大多数后缀树（如果不是全部）都具有以下语义：

• 每个子字符串都添加了一个额外的特殊字符。
• 每个叶节点所代表的后缀的索引或起始位置都包含在其中。
• 每个后缀的字母都被浓缩成单个节点表示。

在学习后缀树之前，了解 trie 和后缀树之间的区别至关重要。

Trie（字典树）

在数据结构领域，“trie”以其复杂性展开，它秘密地将其指定数组中所有字符串的每个字符分开。这种仔细的选择，通过单个节点的存在来表示，使其与传统结构区分开来。当一个共同的子字符串开始多个单词时，就会出现一个统一的节点链来封装这个共享的语言片段。

当子字符串结束时，链会优雅地解散，为独特后缀的出现让路。因此，这些独特后缀的每个字符都通过构成 trie 复杂结构的离散且专门的节点来表示。

后缀树的功能

如果符号来源于一个涵盖从负无穷大到正无穷大的多项式范围的整数字母表，那么对于长度为“n”的字符串“S”构建后缀树可以在 Theta(n) 的时间复杂度内完成。这对于固定维度的字母表尤其适用。然而，对于更广泛的字母表，很大一部分时间资源被分配给将符号组织到大小为 O(n) 的范围的任务，此过程通常需要 O(n log n) 的时间。

假设在长度为“n”的字符串“S”上构建了一个后缀树，可以执行以下操作：

1. 搜索字符序列：-

• 在 O(m) 的时间内，可以确定长度为“m”的标记为“P”的字符序列是否符合子字符串的条件。
• 在 O(m) 的时间内，可以识别长度总计为“m”的序列“P1...PQ”作为子字符串的首次出现。
• 在 O(m+z) 的时间内，可以精确定位子字符串中长度为“m”的模式“P1...PQ”的所有“z”个出现。

2. 识别字符序列的特征：-

• 在 Theta(n(i) + n(j)) 的时间内，可以确定字符字符串“S(i)”和“S(j)”之间共享的最广泛的公共子字符串。
• 在 Theta(n + z) 的时间内，可以揭示所有最大配对、最大重复和超最大重复。
• 在 Theta(n) 的时间内，可以识别最长的重复子字符串。
• 在 Theta(n) 的时间内，可以识别仅出现一次的最小长度子字符串。

后缀树的应用

此外，后缀树还可以应用于生物信息学、编辑和自由文本搜索等广泛的字符串挑战。以下是一些最流行的用途：

1. 精确字符串对应：如前所述，在给定文本的后缀树中，可以在 O(P + occ) 的时间复杂度内找到模式 P 的所有出现。即使考虑到构建后缀树的时间投入，这种方法在处理多个模式时，渐近地与 Knuth-Morris-Pratt 的效率相媲美。
2. 计算基因组学：后缀树在生物信息学领域有着普遍的应用，特别是用于识别 DNA 链中的重复模式。此外，它们对于揭示 DNA 序列中最长公共子字符串或子序列具有无价的价值。这些技术在进化生物学和识别生物体之间共享遗传特征的领域中至关重要。
3. 文本度量：后缀树中的每个节点都与一个文本因子明确对应，反之，每个因子都与一个唯一的节点相关联。因此，尽管生成值传统上遵循 Theta(n^2)，但文本中不同因子的总集合等于不同节点的数量，这个数量可以通过系统地遍历后缀树以线性时间 O(n) 计算出来。文本中最长的重复因子表示至少重复两次的最长序列，它由后缀树的最内层节点简洁地表示。
4. 至高回文序列：回文是当反转时保持不变的序列的典范，例如“racecar”这个词。后缀树领域中的这个概念是识别最长回文序列的宝贵工具。
5. 数据缩减策略：在信号处理领域，数据压缩是指使用比初始表示更少的比特来编码信息的艺术。