什么是 K 连通图？

K 连通图是一种图论概念，用于描述图的连通程度或稳健性。在图中，“网络”指的是顶点的连接程度。如果一个图在移除任意 k-1 个顶点（及其关联的边）后仍然保持连通，则称该图是 k 连通的。

如果图中任意两个顶点之间存在至少 k 条不相交的路径，并且移除少于 k 个顶点不会导致图分裂，则称图 G 是 k 连通的。换句话说，没有少于 k 个顶点的集合能够将图分割成两个不连通的分量。

当满足以下条件时，图 G 被称为 k 连通图：

i) 顶点数量大于 k。

ii) 图 G 中任意一对顶点之间存在 k 条内部不相交的路径。内部不相交的路径是指除端点外没有公共顶点的路径。

示例

1. 连通图

移除 0 个顶点后，图仍然保持连通。

2. 双连通图（Biconnected Diagram）

移除一个顶点可能会导致图分裂，但图中任意两个顶点之间仍然至少存在一条路径。

3. 三连通图

即使移除两个顶点可能会导致图分裂，但图中任意两个顶点之间仍然至少存在三条内部不相交的路径。

应用

K 连通图在网络设计、可靠性分析、容错系统和通信网络等领域都有广泛应用。K 值越高的图越健壮，容错能力越强，越不容易因节点故障而失效。

性质

i) 定义

当且仅当满足以下条件时，图 G 被称为 k 连通图：

- G 的顶点数量大于 k。

- G 中任意两个顶点 u 和 v 之间存在 k 条内部不相交的路径。

ii) 连通性和割顶

割顶（articulation point）是指移除该顶点后会增加图的连通分量数量的顶点。割顶在 k 连通图的讨论中尤为重要。移除图的割顶（或称关节点）会增加连通分量的数量。

如果一个图没有任何割顶，则称其为单连通图。在 1 连通图中，没有割顶，这意味着移除单个顶点不会使网络分裂。

- 如果一个图没有割顶，并且在移除任意单个顶点后仍然保持连通，则称该图为双连通图。

- 如果一个图不存在大小小于 k 的割集，则称该图为 k 连通图。

iii) 割点上的门格尔定理

门格尔定理描述了图的连通性与顶点之间不相交路径之间的关系。

对于图 G 中任意两个非邻接的顶点 u 和 v，分离 u 和 v 所需的最小顶点数量（顶点割）等于连接它们的内部不相交路径的最大数量。

iv) K 连通性与割集

由于最小的顶点割集（移除后会使图分裂的顶点集合）为 k，因此 k 连通图不能通过移除少于 k 个顶点的集合来断开连接。

v) 在网络设计中的应用

- 容错性

K 连通图对于构建容错网络至关重要。

更高的 K 连通性意味着在保持整体网络连通性的同时，对节点或链路故障具有更高的容忍度。

- 稳健性

具有更高 K 连通性的网络在面对随机或有意的故障时更加健壮和有抵抗力。

健壮的网络即使在发生许多故障时也能保持连通性和通信。

- 通信网络

维持一定程度的连通性（K 连通性）对于确保持续可靠的通信至关重要。

K 连通性有助于设计能够承受各种故障情况的网络。

vi) K 连通性算法

1. K 连通性的确定方法

存在用于确定给定网络 K 连通性的算法。其中一种方法基于边连通性的概念。

边连通性是断开图所需的最小边数。K 连通性与边连通性相关。

2. 寻找点不相交路径

为了建立 K 连通性，可以使用方法来查找任意一对顶点之间的 k 条点不相交路径。

这些不相交的路径确保即使在移除 k-1 个顶点后，图仍然保持连通。

vii) 平面图的 K 连通性

库拉托夫斯基定理。

库拉托夫斯基定理涉及平面图及其连通性。

如果一个图不包含子图，该子图是 K₅（包含 5 个顶点的完全图）或 K₃,₃（包含两个顶点集，每个集合有 3 个顶点的完全二分图）的细分，则该图被认为是平面图。

viii) 平面图中的 K 连通性

K 连通性在平面图研究中很重要，特别是对于理解其结构特征和库拉托夫斯基定理施加的限制。

它的用途是什么？

i) 通信网络

K 连通图模型可确保通信网络（尤其是电信）在节点或链路发生故障时仍保持连接。这对于确保持续可靠的通信至关重要。

ii) 交通网络

使用 K 连通图对道路网络和航线等交通系统有利。确保一定程度的连通性有助于防止因基础设施故障或中断而导致区域孤立。

iii) 电网

供电网络必须高度可靠，以保证不间断地输送电力。K 连通图用于构建能够承受故障并保持可用性的强大电网。

iv) 计算机网络

在对可靠数据传输至关重要的计算机网络中，K 连通图用于创建容错系统。确保节点之间存在多条独立路径有助于防止因硬件或连接问题导致的 network disruptions。

如何识别 K 连通图？

1. 检查顶点和边连通性

计算图的顶点连通性和边连通性。一个图要成为 k 连通图，两者都必须大于或等于 k。

要获得这些值，请应用计算顶点或边连通性的技术或定理。

2. 门格尔定理

利用门格尔定理，它为 K 连通图规定了一个性质。在 K 连通图中，分离两个非邻接顶点 u 和 v 所需的最小顶点数（顶点割）等于它们之间内部不相交路径的最大数量。

3. 识别点不相交路径

确定任意两个顶点 (u, v) 之间是否存在 k 条内部不相交的路径。

使用技术来定位这些不相交的路径，并确认它们除了端点之外没有共同的顶点。

4. 割点

- 确定图是否存在割点。K 连通图中不应该存在割点。

- 如果移除少于 k 个顶点会使图分裂，则存在割点。

5. 边连通性算法

- 使用专为边连通性计算设计的算法。一个图要成为 K 连通图，其边连通性必须等于或大于 k。

- 边连通性方法可能涉及发现顶点之间的边不相交路径。

伪代码

开发用于确定特定图是否为 k 连通图的通用伪代码，需要使用诸如门格尔定理、网络流算法或其他基于连通性的方法等特定算法。以下是一个使用门格尔定理的基本技术的伪代码样本。

您选择的具体算法将决定 vertexConnectivity 和 minVertexCut 的实现方式。网络流或最大流算法（如 Ford-Fulkerson）可能最适合这些功能。

请记住，提供的伪代码是高级表示，实际实现细节可能因所选算法和使用的编程语言而异。

结论

总而言之，K 连通图具有结构上的弹性，可以通过任意两个顶点之间的多条独立路径来维持图内的最小连通水平。割点的缺失、门格尔定理的应用以及至少 k 条内部不相交路径的要求，都为这些图的弹性和容错性做出了贡献。无论是在通信网络、交通系统还是其他关键基础设施中使用，K 连通图固有的连通性使其在构建即使在节点或边发生故障时也能运行的系统方面具有无价的价值。