稀疏表

引言

在数据结构和算法的世界里，人们经常会遇到处理大量数据并高效执行范围查询的问题。一种名为“稀疏表”（Sparse Table）的优雅而有效的数据结构为这类问题提供了解决方案。在本文中，我们将探讨稀疏表的概念、其 Python 实现、一些用例以及性能评估。

什么是稀疏表？

稀疏表是一种数据结构，有助于提高静态数组或列表的范围查询性能。它预先计算并存储原始数组中的特定数据，以便高效地响应查询。稀疏表的核心概念是将一个数组分成重叠的块，并预先计算每个块内最常见查询的答案。

稀疏表的优点

与处理范围查询的朴素方法相比，稀疏表有许多好处。主要优点包括：

• 高效的范围查询： 稀疏表使得快速执行任何关联性操作成为可能，例如查找和、最小值或最大值。预先计算的数据使得查询可以在对数时间内解决。
• 静态数据： 稀疏表是静态数据场景的最佳选择，即数组不经常改变，因为一旦构建，其结构就是固定的。
• 简单性： 稀疏表相对容易实现，并且可以轻松修改以适应各种问题场景。

稀疏表的 Python 实现

稀疏表的初始化

在创建稀疏表之前，我们必须初始化所需的数据结构并确定必要的表大小。

构建稀疏表

用已为范围查询预计算的数据填充稀疏表。

查询稀疏表

使用稀疏表中预先计算的值，我们可以快速响应范围查询。

完整代码如下

输出

0
3
12

这是代码解释

1. buildSparseTable 函数接受两个参数：arr（输入数组）和 n（数组大小）。它用所有单个元素范围的最小值来初始化稀疏表。
2. 在 buildSparseTable 函数内部，使用嵌套循环结构，利用二进制提升（binary lifting）的概念来计算和存储不同长度范围的最小值。
3. 外层循环遍历 j 的可能值，j 代表所考虑范围的长度（2的幂）。
4. 内层循环遍历数组索引 i。对于每个索引，lookup[i][j] 的值是根据两个较小范围的最小值计算得出的：lookup[i][j - 1]（前一个较小范围的值）和 lookup[i + (1 << (j - 1))][j - 1]（下一个较小范围的值，从索引 i 之后 2^(j-1) 个元素开始）。
5. query 函数接受两个参数 L 和 R（表示查询范围的左、右索引），并使用稀疏表返回该范围内的最小值。
6. 在 query 函数内部，j 的值被计算为查询范围长度（R - L + 1）以2为底的对数的向下取整。
7. 查询范围内的最小值是通过比较两个相邻的较小范围的最小值来获得的，这两个范围可以是查询范围的左侧或右侧，具体取决于哪个的最小值更小。
8. 在示例用法部分，定义了一个数组 a，并计算了其长度 n。初始化了一个二维数组 lookup 来存储为不同范围预计算的最小值。调用 buildSparseTable 函数来填充 lookup。
9. query 函数用于回答数组内不同范围的范围最小值查询。这些查询的结果被打印出来。

稀疏表的用例

稀疏表在许多情况下都很有用，包括以下几种：

范围求和查询

给定一个数组，我们可以使用稀疏表快速确定一个范围 [l, r] 内元素的总和。

范围最小值/最大值查询

使用稀疏表可以在对数时间内找到给定范围内的最小或最大元素。

最长公共前缀

确定两个数组元素之间最长公共前缀的最有效方法是使用稀疏表。

时间和空间复杂度分析

由于有预先计算的值，构建稀疏表的时间复杂度为 O(N log N)，而查询一个范围只需要 O(1) 的时间。表的存储导致空间复杂度为 O(N log N)。

与其他数据结构的比较

与线段树或树状数组等其他范围查询数据结构相比，稀疏表更简单且更容易实现。然而，在处理涉及动态数据的场景时，它们可能不那么灵活。