用于范围顺序统计的归并排序树

范围顺序统计简介

在数组中指定值范围内查找第 k 小或第 k 大的元素是范围顺序统计的任务。这项看似简单的任务的含义从数据库到计算几何学都有涉及。处理大型数据集时，传统方法经常不足，因此需要使用归并排序树等有效算法。

理解归并排序树

归并排序树结合了线段树和归并排序的原理。它可以成功处理基于范围的查询，同时仍然有效地更新单个元素。通过在查询时间和预处理时间之间提供平衡的折衷，它克服了其他方法的缺点。

构建归并排序树

归并排序树通过递归地将数组分割成更小的部分并对其进行排序来构建。然后通过组合这些段来创建树状结构，每个节点代表一个值范围。这个过程的结果是一个为基于范围的查询准备好的平衡树。

查询范围顺序统计

归并排序树将范围划分为子范围，并有效地搜索树以查找范围内的第 k 顺序统计量。此方法减少了时间复杂度，使其成为对效率至关重要的实时应用程序的完美选择。

归并排序树的优点

使用归并排序树有几个好处。

• 效率：该算法易于处理大型数据集，因此适用于需要快速响应的应用程序。
• 灵活性：归并排序树支持各种基于范围的查询，使其适用于不同的场景。
• 一致性：通过在各种情况下提供一致的性能，这确保了实际应用程序的可靠性。

克服挑战

归并排序树有很多优点，但也有一些缺点。

• 内存要求：对于非常大的数据集，树可能需要大量内存。
• 初始构建：构建初始树需要预处理，这并非易事。

归并排序树与其他数据结构的比较

在需要频繁更新和基于范围的查询的场景中，归并排序树比线段树或树状数组等更传统的数据结构表现更好。在更新较少的场景中，线段树可能更有效。

性能分析

归并排序树在范围顺序统计查询中表现最佳。根据执行的操作，它们的时间复杂度范围从 O(log n) 到 O(log2 n)。这种效率确保了即使对于大型数据集也能及时响应。

理解算法

用于范围顺序统计的归并排序树结合了线段树和归并排序的概念。当您需要快速识别数组中指定值范围内的第 k 小或第 k 大元素时，它特别有用。

分步实现

让我们将实现过程分为几个关键步骤

1. 构建归并排序树

• 创建一个名为 build_tree(arr, tree, left, right, node) 的函数，该函数接受输入值数组 (arr)、归并排序树 (tree) 和当前范围边界 (left 和 right)。
• 如果 left 和 right 相等，则将单个元素存储在 tree[node] 中。
• 否则，在递归地将范围分成两半后，再次调用 build_tree 函数。

2. 查询范围顺序统计

• 对于查询范围内第 k 顺序统计量的函数，创建 query(tree, node, left, right, k)。
• 如果 left 和 right 相等，则返回单个元素的值。
• 否则，使用树中保留的值来确定左子树中有多少元素小于或等于 mid。
• 如果 k 小于或等于计数，则递归调用左子树的查询函数，表明所需元素位于该处。
• 否则，如果元素在右子树中，则递归调用右子树的查询函数，并调整 k 值。

代码

输出

The 3th smallest element in the range [1, 4] is 1
The 2th smallest element in the range [2, 5] is 1
The 1th smallest element in the range [0, 3] is 1

代码定义了一个 MergeSortTree 类，它有助于在数组的特定范围内查找第 k 小的元素。以下是简要概述

1. 构造函数 (__init__)
   • 用输入数组的排序版本初始化归并排序树。
   • 使用 build_tree 构建树
2. 构建树 (build_tree)
   • 递归构建排序子数组的树。
   • 合并对应于当前范围的左右两半的排序子数组。
   • 继续划分范围并合并，直到达到单个元素。
3. 查询 (query)
   • 在数组的给定范围内查找第 k 小的元素。
   • 将 k 与范围左半部分的元素计数进行比较。
   • 根据比较结果递归缩小搜索范围。
4. 主函数 (main)
   • 创建一个示例数组和查询列表。
   • 使用数组创建一个 MergeSortTree 实例。
   • 遍历查询，查找并打印第 k 小的元素。