红黑树 vs AVL 树

在理解红黑树和AVL树的区别之前，我们应该分别了解红黑树和AVL树。

什么是红黑树？

红黑树是一种自平衡的 二叉搜索树，其中每个节点都包含一个额外的比特位信息，用于表示节点的颜色。节点的颜色可以是红色或黑色，取决于节点存储的比特信息。

性质

以下是红黑树的属性：

• 树的根节点应为黑色。
• 红色节点只能有黑色子节点。或者说，两个相邻的节点不能是红色。
• 如果节点没有左子节点或右子节点，则该节点称为叶子节点。因此，我们在叶子节点下方放置称为nil的左右子节点。

叶子节点的黑色深度或黑色高度定义为从叶子节点到根节点路径上遇到的黑色节点的数量。红黑树的一个关键属性是每个叶子节点都应该具有相同的黑色深度。

让我们通过一个例子来理解这个属性。

在上图中，有五个节点，其中一个是红色，另外四个是黑色。上图中有三个叶子节点。现在我们计算每个叶子节点的黑色深度。我们可以观察到所有三个叶子节点的黑色深度都是 2；因此，这是一棵红黑树。

如果树不遵守上述任何三个属性，则它不是红黑树。

红黑树的高度

假设一棵有 n 个节点的树的高度为 h。n 的最小值是多少？当所有节点都是黑色时，n 的值最小。如果树包含所有黑色节点，那么这棵树将是一棵完全二叉树。如果一棵完全二叉树的高度为 h，那么树中的节点数量为

n 的最大值是多少？

当每个黑色节点都有两个红色子节点时，n 的值最大，但红色节点不能有红色子节点，因此它会有黑色子节点。这样，黑色层和红色层交替出现。因此，如果黑色层的数量为 h，则红色层的数量也为 h；因此，树的总高度为 2h。节点总数为

什么是AVL树？

AVL树是一种自平衡二叉搜索树，如果我们观察到以下情况，它是一棵二叉搜索树也是一棵平衡树。

在上图中，搜索元素的 worst-case 时间复杂度为 O(h)，即树的高度。在上例中，搜索 17 这个元素所需的比较次数为 4，树的高度也为 4。

如果我们考虑如下的斜二叉树

在上图中，搜索 17 这个元素所需的比较次数为 5，树中存在的元素数量也为 5。因此，我们可以说，如果树是斜二叉树，则时间复杂度为 O(n)。

现在，我们需要平衡这些斜树，使它们的时间复杂度为 O(h)。有一个术语称为平衡因子，用于自平衡二叉搜索树。平衡因子可以计算为

平衡因子的值可以是 1、0 或 -1。如果二叉树中的每个节点都具有 1、0 或 -1 的值，则该树称为平衡 二叉树 或 AVL 树。

如果二叉树中每个节点的平衡因子值为 0，则该树称为完美平衡树。AVL 树是近乎平衡的树，因为树中的每个节点的平衡因子值为 1、0 或 -1。

红黑树和AVL树之间的区别。

以下是红黑树和AVL树之间的区别：

• 二叉搜索树

红黑树是一种二叉搜索树，AVL树也是一种二叉搜索树。

• 规则

红黑树遵循以下规则：

1. 红黑树中的节点要么是红色，要么是黑色。
2. 根节点的颜色应该是黑色。
3. 相邻节点不应为红色。换句话说，红色节点不能有红色子节点，但黑色节点可以有黑色子节点。
4. 每条路径上的黑色节点数量必须相同；只有这样，一棵树才被认为是红黑树。
5. 外部节点是 nil 节点，它们始终是黑色的。

AVL 树的规则

每个节点的平衡因子应为 -1、0 或 1。

• 示例

在上图中，我们需要检查树是否为红黑树。为了检查这一点，我们首先需要检查树是否为二叉搜索树。如上图所示，它满足二叉搜索树的所有属性；因此，它是一棵二叉搜索树。其次，我们必须验证它是否满足上述规则。上图满足上述所有五个规则；因此，可以得出结论，上图是一棵红黑树。

在上图中，我们需要检查树是否为 AVL 树。由于每个节点的平衡因子值为 -1、0 或 1，因此它是一棵 AVL 树。

• 树如何被视为平衡树？

在红黑树的情况下，如果所有上述规则都得到满足，并且树是一棵二叉搜索树，那么该树就被称为红黑树。

在 AVL 树的情况下，如果平衡因子为 -1、0 或 1，则上述树被视为 AVL 树。

• 用于平衡的工具

如果树不平衡，则在红黑树中，有两种工具用于平衡树：

1. 重新着色
2. 旋转

如果树不平衡，则在 AVL 树中，有一种工具用于平衡树：

1. 旋转

• 哪个操作更高效

在红黑树的情况下，插入和删除操作是高效的。如果通过重新着色来平衡树，那么插入和删除操作在红黑树中是高效的。

在 AVL 树的情况下，搜索操作是高效的，因为它只需要一种工具来平衡树。

• 时间复杂度

在红黑树的情况下，所有操作（即插入、删除和搜索）的时间复杂度为 O(logn)。

在 AVL 树的情况下，所有操作（即插入、删除和搜索）的时间复杂度为 O(logn)。

让我们以表格形式理解这些区别。