数据结构中的逆序对问题

编程和计算机科学中的主要数据结构是数组。分析数组的“已排序”或“未排序”状态通常很有帮助。计算数组中的反转次数是衡量此目的的一种方法。当数组中的两个元素相对于彼此顺序不当时，就称为反转。分析反转次数可以提供有关数组未排序程度的信息。本文将探讨可用于有效计算数组中反转次数的各种方法。这些算法包括一个简单易懂的 O(N^2) 嵌套循环方法，以及一个更有效的 O(N log N) 基于分治归并排序的策略。反转计数在数据分析等领域有应用，用于量化无序数据集。我们将讨论如何实现反转计数及其关键应用。

方法 1：蛮力法

当我第一次了解数组中的反转计数时，使用嵌套循环的简单“蛮力”解决方案在直觉上是有意义的。反转是指一对元素相对于彼此顺序不正确，例如数组中 3 出现在 1 之前。要计算所有反转，我们可以将每个元素与它右边的所有元素进行比较。

下面的代码展示了这可能如何工作。有两个 for 循环 - 外层循环 i 从数组的开头到结尾，内层循环 j 从 i+1 到结尾。在内层循环中，它比较 arr[i] 和 arr[j]，如果 arr[i] 大于 arr[j]，则递增计数，因为这是一个反转。

最终，count 变量会累计所有反转对。这种嵌套循环的蛮力法解决了问题，并且易于理解。但它可以更有效率，需要检查每一对，花费 O(N^2) 时间。随着数组变得越来越大，这会迅速导致计算量剧增。

不过，从蛮力解决方案开始仍然很有帮助。在深入研究更高级的算法之前，它提供了一个简单的基准。通过遍历朴素方法，可以在解决具有更好 O(N log N) 速度的分治解决方案之前建立直觉。从熟悉的环境开始，可以让您轻松掌握核心概念，即使在实践中，您也会避免蛮力策略。

输出

Number of inversions: 6

说明

• 函数 count_inversions_bruteforce 以数组 arr 作为输入
• 它初始化一个变量 count 为 0，用于存储反转的数量
• 它使用 n = len(arr) 计算数组的长度
• 它运行两个嵌套的 for 循环
• 外层循环从 0 到 n-1，i 为索引
• 内层循环从 i+1 到 n，j 为索引
• 在内层循环中，它比较 arr[i] 和 arr[j]
• 如果 arr[i] > arr[j]，则表示找到了反转。因此，它将 count 增加 1
• 嵌套循环完成后，count 包含总反转数
• 函数返回 count
• 在 main 块中
• 定义了一个示例数组 arr
• 对 arr 调用 count_inversions_bruteforce
• 打印反转的数量
• 这实现了简单的 O(N^2) 算法，使用嵌套循环来计算反转
• 它将每个元素与右边的所有元素进行比较，当找到反转时递增计数
• 时间复杂度为 O(N^2)，因为有两个嵌套循环遍历数组

编程和计算机科学中的主要数据结构是数组。分析数组的“已排序”或“未排序”状态通常很有帮助。计算数组中的反转次数是衡量此目的的一种方法。当数组中的两个元素相对于彼此顺序不当时，就称为反转。分析反转次数可以提供有关数组未排序程度的信息。本文将探讨可用于有效计算数组中反转次数的各种方法。这些算法包括一个简单易懂的 O(N^2) 嵌套循环方法，以及一个更有效的 O(N log N) 基于分治归并排序的策略。反转计数在数据分析等领域有应用，用于量化无序数据集。我们将讨论如何实现反转计数及其关键应用。

方法 2：归并排序法

使用分治法（如归并排序）可以显著加快数组中反转的计数。关键的见解是，在合并两个已排序的子数组时，我们可以有效地计算两个子数组元素之间的反转次数。这使我们能够以 O(N log N) 的总时间计算反转。

下面的代码使用归并排序实现了一个反转计数器。它包含一个 merge 函数，该函数处理两个已排序子数组的合并，并计算它们之间的反转。此 merge 函数由递归的 merge sort 函数调用，该函数将数组分成两半，递归地对它们进行排序，然后合并两个已排序的半部分，同时计算拆分反转。

通过划分问题并在合并步骤中仅计数反转，总时间复杂度从蛮力方法中的 O(N^2) 降低到归并排序中的 O(N log N)。这种加速使反转计数可以扩展到大型数组。虽然代码最初可能看起来很复杂，但通过它，您将了解分治法如何从根本上降低复杂性。在本简介中，我们将首先在详细介绍其实现细节之前，从高层次上分析带有反转计数的归并排序的工作原理。

输出

Number of inversions: 6

说明

• 它使用归并排序实现反转计数
• merge 函数执行以下操作
• 接受数组、临时数组、左/右索引
• 维护索引 i、j、k
• 不断合并左右已排序的子数组
• 如果左侧元素 <= 右侧元素，则复制到临时数组
• 否则，复制右侧元素，并将 inv_count 增加 mid-i+1（与剩余左侧的反转）
• 返回合并步骤的 inv_count
• merge_sort_and_count 函数
• 基本情况：如果 left >= right，则返回
• 递归地对左半部分进行排序和计数
• 递归地对右半部分进行排序和计数
• 合并已排序的半部分并计算拆分反转
• 返回总反转数
• main count_inversions_merge_sort 函数
• 创建临时数组
• 对整个数组调用 merge_sort_and_count
• 返回总反转计数
• Main 块
• 在样本数组上运行
• 打印反转的数量
• 归并排序将数组分成子问题，然后合并已排序的半部分
• 计数发生在合并步骤中
• 总时间复杂度为 O(N log N)

结论

总之，计算数组中的反转次数可以提供有关数组无序或已排序程度的重要指标。我们探讨了计算反转的两种方法——一种简单的 O(N^2) 嵌套循环蛮力方法，以及一种更有效的 O(N log N) 分治归并排序算法。

使用两个嵌套 for 循环来比较所有对的蛮力方法很简单，但由于其二次时间复杂度，对于大量输入来说是不可行的。通过将数组分成块并在已排序的子数组合并过程中仅进行计数，归并排序将复杂度降低到了线性对数时间。

反转计数在数据分析和机器学习等领域有应用，用于量化数据集中的无序程度。它可以识别异常或与预期顺序偏差等问题。所讨论的算法提供了有效实现反转计数的方法，即使对于大量真实世界数据也是如此。

未来，研究利用多处理器的反转计数并行实现将很有趣。归并排序的分治性质非常适合并行化。将类似的技术应用于反转计数可以进一步提高其速度和可扩展性。