遍历 N 元树的方法数量

17 Mar 2025 | 4 分钟阅读

在N元树中，每个节点都可以有可变数量的子节点，通常最多为N个。这是一种灵活的树形数据结构。相比之下，二叉树中的节点最多只能有两个子节点。N元树允许更复杂的层次结构，因为每个节点可以有多个子节点，而根节点是遍历树的起点。

根据你选择的具体遍历顺序，有多种方法可以遍历N元树。树的遍历顺序通常有前序、后序和中序。对于这些顺序中的每一种，遍历N元树的方法数量取决于树中节点的数量。

因此，对于这三种常见的遍历顺序中的每一种，遍历一个有'n'个节点的N元树有'n!'种方式。每种遍历顺序都有'n!'种不同的节点配置。每种顺序对应一种不同的布局。

问题： 确定从一个N元树（或有向无环图）的根顶点到任何其他顶点的路径有多少条。

注意：这个问题也可以在有向无环图上提出。解决方法保持不变。

手头的任务是确定从根顶点开始遍历整个树的路径有多少条。这样的方法可能有很多。下面列出其中几种。

遍历顺序为 N->M->K->J->B->F->D->E->C->H->I->L->A（类似深度优先）。

层序遍历：A->B->F->D->E->K->J->G->C->H->I->N->M->L。

注意：总的遍历路径数等于每个节点子节点数量阶乘的乘积。请参考下图以便清晰理解。

这里，“A”有四个孩子；因此，有4!种不同的排列。

由于“B”有两个孩子，因此有两种可能的排列。

由于“F”没有孩子，有0!种可能的排列。

因此，所有这些方法的总数是 4! * 2! * 0! * 1! * 3! * 2! * 0! * 0! * 0! * 1! * 0! * 0!，共有576种方式。

方法有很多，但只有少数几种——中序、层序、前序和后序——被证明是有用的。这个顺序是基于这些遍历的普遍程度。

按照以下步骤解决问题

将所有方法初始化为1，然后构建一个节点队列并将根节点插入其中。
如果队列不为空，则初始化整数p等于队首节点。
将总方法数乘以 x!，其中 x 代表节点 p 的子节点数量。
将节点 p 的所有子节点按顺序放入队列中。
返回总方法数。

实施

Java代码

Import java. util.ArrayList;
import java. util.LinkedList;
import java. util.Queue;
public class TreeTraversalWays {
    static class Node 
      {
        char key;
        ArrayList<Node> children;
        public Node(char key) 
          {
            this.key = key;
            children = new ArrayList<>();
        }
    }
    static Node newNode(char key)
  {
        return new Node(key);
    }
    static int factorial(int n) {
        if (n == 0) {
            return 1;
        }
        return n * factorial(n - 1);
    }
    static int calculate ways(Node root) {
        int ways = 1;
        if (root == null) {
          return 0;
        }
        Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
        queue.add(root);
        while (!queue.isEmpty()) {
            Node currentNode = queue.poll();
            ways *= factorial(currentNode.children.size());
            for (Node child: currentNode.children) {
                queue.add(child);
            }
        }
        return ways;
    }
    public static void main(String[] args) {
        Node root = newNode('A');
        root.children.add(newNode('B'));
        root.children.add(newNode('F'));
        root.children.add(newNode('D'));
        root.children.add(newNode('E'));
        root.children.get(0).children.add(newNode('K'));
        root.children.get(0).children.add(newNode('J'));
        root.children.get(2).children.add(newNode('G'));
        root.children.get(3).children.add(newNode('C'));
        root.children.get(3).children.add(newNode('H'));
        root.children.get(3).children.add(newNode('I'));
        root.children.get(0).children.get(0).children.add(newNode('N'));
        root.children.get(0).children.get(0).children.add(newNode('M'));
        root.children.get(3).children.get(2).children.add(newNode('L'));
        int ways = calculateWays(root);
        System.out.println("Number of ways to traverse the tree: " + ways);
    }
}

输出

Number of ways to traverse the tree: 6912

该Java应用程序使用类似广度优先搜索的算法来计算遍历N元树的方法数量。它为节点结构指定了一个键和子节点列表。calculateWays函数遍历树并记录遍历选项。它从一种方法开始，并通过将方法数乘以每个节点子节点数量的阶乘来处理每个节点。接下来，程序构建一个示例N元树，并发现它有6912条遍历路径。输出揭示了树中可能存在的大量独特遍历序列，展示了N元树结构在各种应用中的多功能性。

时间复杂度：O(N^2)。 通过预先计算从1到N所有数字的阶乘，我们可以将解决方案优化到O(N)时间。

辅助空间：O(N)

下一个主题异或链表 - 一种节省内存的双向链表

遍历 N 元树的方法数量

注意：这个问题也可以在有向无环图上提出。解决方法保持不变。

注意：总的遍历路径数等于每个节点子节点数量阶乘的乘积。请参考下图以便清晰理解。

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注意：这个问题也可以在有向无环图上提出。解决方法保持不变。

注意：总的遍历路径数等于每个节点子节点数量阶乘的乘积。请参考下图以便清晰理解。

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