仅允许对给定数组进行旋转，求 Sum(i*arr[i]) 的最大值

引言

在给定整数数组的情况下，如何最大化每个元素与其位置乘积之和是一个有趣的难题。这个问题经常出现在涉及资源分配的场景中，其中最大化资源利用率至关重要。

理解问题

给定一个包含 n 个整数的数组 arr，目标是通过旋转数组元素来找到 ∑i=0n-1 (i×arr[i]) 的最大值。旋转是指将所有元素向右移动一个位置，最后一个元素移动到第一个位置。

朴素方法：暴力破解

一种直接但效率不高的方法是生成所有可能的旋转并计算每个旋转的和。然而，这种方法的平均时间复杂度为 O(n^2)，对于较大的数组来说不切实际。

优化方法：数学洞察

一种优化的策略利用了数学原理。原始数组的和与循环和之间的差值表示一次旋转后和的变化。这可以表述如下：

和的变化 = sum - n × arr[n-1]

在旋转之前，公式中索引的和乘以相应的数组元素。

实现算法

优化方法是通过遍历数组来确定初始和以及每次旋转的和变化。我们可以通过监控最大和及其旋转索引 ∑i=0n-1(i×arr[i]) 来确定最大值。

处理边界情况

考虑数组为空或只有一个元素的边缘情况。在这些情况下，最大和为零。

复杂度分析

由于我们遍历数组两次——一次确定初始和，另一次确定旋转后的最大和——优化方法的时间复杂度为 O(n)。由于我们使用尽可能少的变量来实现中间结果，因此空间复杂度保持为 O(1)。

分析方法

为了实现我们的目标，我们将采取以下行动方案：

1. 计算初始和

第一步将使用未旋转状态下的数组元素计算初始和。我们将使用这个值作为我们的起点，以便在旋转时进行比较。

2. 确定旋转

然后，在遍历数组时，将对数组进行旋转。我们将计算每次旋转时数组元素及其相应索引的乘积之和。通过分析这些和，我们可以找到产生更高值的旋转。

3. 最大化和

在分析了旋转如何影响乘积之和后，我们可以确定哪个旋转产生最高的和。元素将以最有利的方式旋转，以增加和的总值。

代码

输出

Maximum sum of i * arr[i] after rotations: 40

在本例中，输入数组 [1, 2, 3, 4, 5] 在旋转后产生最大和 40。该程序使用基于数学洞察的方法有效解决问题。要测试各种场景，您可以将 arr 替换为您自己的数组。

所提供的代码定义了一个名为 **max_sum_with_rotations** 的 Python 函数，该函数计算对数组执行旋转后，数组元素与其各自索引的乘积的最大可能和。换句话说，它找到当每个元素乘以其索引时产生最高和的数组元素排列。

代码的目的是演示如何通过旋转数组来找到数组元素与其索引乘积的最大可能和。每次旋转都会移动元素，目标是找到使乘积和最大化的排列。

所提方法的优点

本文描述的策略具有以下优点：

1. 计算效率

通过利用列表推导，该实现高效地计算了每次旋转的乘积和。这使得旋转场景能够相当快速地进行评估，即使对于具有大量元素的数组也是如此。

2. 理想解决方案

该方法通过系统旋转和评估，确保识别出最大化乘积和的理想旋转。这保证了算法始终返回可能的最高值。

3. 简单实现

用于实现的 Python 代码清晰明了，易于理解。它具有与本文前面循序渐进的方法相对应的逻辑流程。

4. 通用应用

尽管优化的基本思想可以通过旋转应用于其他情况，但此特定问题仅适用于旋转数组元素。从理解此问题中获得的能力可以应用于更广泛的问题。