使用多项式哈希表实现动态线段树

引言

动态数据结构在计算机科学中扮演着至关重要的角色，它能够高效地操纵和查询不断变化的数据集。动态线段树和多项式哈希表提供了一个强大的组合，用于处理大型数据集上的动态范围查询。

动态线段树

动态线段树为在动态数据集上执行范围查询提供了灵活的结构。树中的每个节点都表示数组的一个片段，通过更新和查询这些节点，可以高效地执行各种基于范围的操作。

动态线段树在处理频繁更新的数组时特别有用。尽管对于静态数组是高效的，但由于其静态特性，传统线段树对于动态数据集来说变得不切实际。

基本结构

动态线段树扩展了二叉搜索树的思想，其中每个节点代表一个元素范围。根节点覆盖整个数组，树的每个级别进一步细分范围。

动态操作

元素的插入和删除需要更新树中相应的节点。当插入新元素时，树会进行调整以适应新元素的存在。同样，当删除元素时，树会进行修改以反映其不存在。

延迟传播

延迟传播是一种用于优化范围更新操作的技术。更新不会立即更新所有受影响的节点，而是推迟到需要节点的精确值时才进行。这最大限度地减少了不必要的更新并提高了性能。

内存管理

高效的内存管理对于防止内存碎片和确保最佳性能至关重要。可以采用内存池或自定义内存分配策略等技术。

复杂查询

动态线段树可以处理各种范围查询，包括求和、最小值、最大值和其他自定义操作。通过遍历树并结合相关节点的结果，可以高效地执行这些查询。

多项式哈希表

哈希表是基本数据结构，允许根据键高效地检索数据。多项式哈希表通过利用多项式哈希函数增强了这一概念。

哈希是一种将数据（键）转换为固定大小值（哈希）的技术，该值可用于索引数组或数据结构以进行快速检索。

多项式哈希函数

多项式哈希表采用多项式哈希函数将键均匀分布到哈希表中。使用多项式生成哈希值，减少冲突并提高效率。

冲突处理

当两个键哈希到相同的值时会发生冲突。多项式哈希表使用链式或带探测的开放寻址等技术处理冲突。

动态大小调整

为了保持效率，多项式哈希表会随着存储元素数量的增长而动态调整自身大小。这涉及创建一个新的、更大的哈希表并重新哈希现有元素。

哈希表操作

标准哈希表操作包括插入、删除和检索。当使用设计良好的多项式哈希函数时，多项式哈希表为这些操作提供了 O(1) 的平均时间复杂度。

动态线段树与多项式哈希表的集成

将动态线段树与多项式哈希表结合使用可创建一个强大的数据结构，可高效处理动态范围查询。

组合原理

动态线段树可以映射到多项式哈希表，其中每个范围对应于哈希表中的一个键。哈希表中存储的值表示相应的线段树节点。

用例

这种集成对于涉及动态数据集和动态范围查询的场景特别有用。用例包括实时分析、动态调度和频率跟踪。

集成优势

这些结构的集成允许在动态数据集上进行优化的范围查询。它平衡了两种数据结构的优势，提供高效的更新和查询。

实施

输出

说明

定义一个表示动态线段树结构的节点类

它由值、左指针和右指针组成

定义一个 PolyHashTable 类，它具有用于哈希表大小的常量表大小和用于根据其哈希值存储值的节点对象数组。

insert 方法： 使用多项式哈希将键值对插入哈希表。它根据键计算哈希值，并使用提供的值创建一个新节点。

find 方法： 根据键从哈希表中检索值。它计算哈希值并返回相应的节点。

build 方法： 递归地构建动态线段树。它获取范围 [left, right]，并通过将范围划分为更小的片段来构建树。

update 方法： 更新动态线段树中的值。它递归地遍历树，并根据提供的索引和值更新相关节点。

query 方法： 在动态线段树中执行范围查询。它递归地遍历树，返回指定查询范围内的值之和。

用例和应用

范围求和/最小值/最大值查询： 处理需要快速查找动态范围内的和、最小值或最大值的场景。

频率计数： 跟踪动态数据集中元素的频率。

动态频率跟踪： 在数据集变化时高效地更新和查询元素的频率。

区间覆盖： 解决涉及动态区间覆盖的问题，例如调度或资源分配。