离散数学中的阿贝尔群

阿贝尔群是一种群，其中元素之间始终满足交换律。为此，群运算 o 必须满足以下关系：

与非阿贝尔群相比，阿贝尔群更容易分析。当群是阿贝尔群时，许多有趣的群都可以简化为特殊情况。例如，阿贝尔群包含共轭类，这些共轭类是单元素集合，并且每个共轭类只包含一个元素。阿贝尔群有许多子群，这些子群都是正规子群。它包含一个集合 G，并与二元运算 o 结合。这里，o 用于取 G 的两个元素并返回 G 的一个元素。其关系描述如下：

阿贝尔群的性质

阿贝尔群有一些性质，描述如下：

结合律： 假设集合 G 包含一个二元运算 o。如果运算 o 在 G 中满足以下关系，则称其为结合的：

单位元： 假设我们有一个代数系统 (G, o)，并且集合 G 包含一个元素 e。如果该元素满足以下关系，则称其为集合的单位元：

这里，元素 e 可以称为 G 的单位元，我们也可以看到它必然是唯一的。

逆元： 假设有一个代数系统 (G, o)，并且它包含一个单位元 e。我们还假设集合 G 包含元素 x 和 y。如果元素 y 满足以下关系，则称 y 为 x 的逆元：

这里，元素 y 也可以称为 x 的逆元，我们也可以看到它必然是唯一的。x 的逆元也可以表示为 x^-1。

闭包： 假设有一个集合 G，包含元素 x, y。如果集合满足以下关系，则称该运算在 G 中是闭合的：

交换律： 假设集合 G 包含一个二元运算 o。如果运算 o 在 G 中满足以下关系，则称其为交换的：

我们可以使用以上四个条件来定义一个群：结合律、单位元、逆元和闭包。非阿贝尔群和阿贝尔群之间的区别在于最后一个条件——交换律。

阿贝尔群的例子

循环群是阿贝尔群最好、最简单的例子。我们可以使用单个元素来生成循环群，它同构于 Zn，可以定义如下：

Zn，整数集合 {0, 1, 2, 3,….., n-1}，以模 n 加法作为群运算。

群的元素包含由群定律对生成器的连续应用生成的循环。例如， Z5 的生成元 g 的幂可以表示为 g⁰, g¹, g², g³, g⁴, g⁵=g⁰, g¹, g², g³, g⁴, …，它可以构成元素 {g⁰, g¹, g², g³, g⁴}。因为 g^a g^b = g^b g^a = g^a+b。所有这些群都是阿贝尔群。

我们可以说，并非所有阿贝尔群都是循环群，但所有循环群都是阿贝尔群。例如，Z₂×Z₂，即克莱因四元群，它不是循环群但却是阿贝尔群。与上述规律相反，可逆矩阵群以矩阵乘法作为群律时，并不能构成阿贝尔群。这是因为对于矩阵 M 和 N，MN = NM 通常不成立。如果符号群 S_n 中 n >=3，则该群也是非阿贝尔群。

阿贝尔群的例子也可以用环及其加法运算来描述。环的单位元可以以其乘法运算构成一个阿贝尔群。例如，实数可以构成加法阿贝尔群，非零实数可以构成乘法阿贝尔群，记为 R^*。

阿贝尔群的性质

阿贝尔群用于在特殊情况下形成许多群的性质。例如，我们已经提到共轭类是单元素集合。类似地，

• 群的中心与其自身相同。另一种情况是反之亦然，这意味着如果群的中心与其自身相同，则该群为阿贝尔群。
• 在阿贝尔群中，换位子 (g^-1 h^-1 gh) 的两个元素表示单位元。
• 阿贝尔群的导子群是平凡的。

阿贝尔群也构成各种代数。这意味着：

• 阿贝尔群的子群也是阿贝尔群。
• 阿贝尔群的商群也是阿贝尔群。
• 两个阿贝尔群的直积也是阿贝尔群。

最后，我们将描述一个群律，其中从一个阿贝尔群到另一个阿贝尔群的同态集合构成另一个阿贝尔群。群律的语法如下：

阿贝尔群的分类

阿贝尔群将根据其阶进行分类。群的阶由群中元素的数量计算。如果一个群 G 的阶是有限的，则称 G 为有限群。现在我们将描述克罗内克分解定理。根据该定理，我们可以将阶为 n 的阿贝尔群写成以下形式：

其中 k_i 用于表示素数的幂，k_i 乘以 n。这种表示是唯一的。

例如

如果我们想表示阶为 15 的阿贝尔群，它将写为 Z₃⊕Z₅。这意味着在阶为 15 的情况下，所有阿贝尔群都是同构的。我们还将展示一个明确的例子，即 {0,5,10}⊕{0,3,6,9,12}。我们还有另外两个特殊情况，描述如下：

• 如果一个群的阶为 p，那么这个群将同构于 Zp，并且必然是阿贝尔群。它也是循环群。
• 如果一个群的阶为 p²，那么这个群必然是阿贝尔群，并且它同构于 Z_p2 或 Z_p×Z_p。

根据上述克罗内克分解定理，它描述了阶为 (n) 的非同构阿贝尔群的数量满足以下关系：n=∏_ip_i^ei 并且

此处，

a(n) 用于表示 n 的整数分拆的数量，或者我们可以说 a(n) 是 n 的素数分解中每个指数的整数分拆数量的乘积。