离散数学中的单射函数

单射函数也称为一对一函数。借助单射函数，我们展示两个集合的映射。在此映射中，我们将有两个集合，f 和 g。一个集合称为值域，另一个集合称为定义域。一对一函数或单射函数可以写成 1-1 的形式。如果值域的每个元素都恰好对应定义域的一个元素，则函数 g 将被称为一对一函数或单射函数。函数 f() 是一种用于将一个变量的元素与第二个变量的元素关联起来的方法。它以第二个变量的值的元素可以通过第一个变量的元素或值相同地确定的方式发生。

除了用来表示集合、元素或同一性之间关系的一对一或单射函数外，我们还有各种函数集。这些函数描述如下：

1. 双射函数或满射函数
2. 满射函数或多对一函数

单射函数的定义

单射函数或一对一函数是最常用的函数。它可以定义为：一个集合的每个元素必须与第二个集合的唯一元素有一个映射的函数。如果存在两个集合，集合 A 和集合 B，则根据定义，集合 A 的每个元素在集合 B 上必须有一个唯一的元素。在单射函数中，答案永不重复。单射函数的表示如下：

换句话说，单射函数可以定义为将其定义域 (A) 的不同元素映射到其陪域 (B) 的不同元素的函数。为了理解单射函数，我们假设一个函数 f，其定义域是集合 A。如果 f(a) = f(b)，则对于 A 中的所有 a 和 b，a = b，则此函数将被视为单射函数。同样，如果 a ≠ y，则 f(a) ≠ f(b)。形式上，我们可以说，如果 f(a) = f(b) 意味着 a = b，则函数 f 将是一对一映射。

同样，如果有一个单射函数 f，包含定义域 A 和值域 B，那么我们可以借助以下方法找到这个函数的逆函数：

假设有一个函数 f: A → B。如果 A 中不同元素的像也不同，则此函数将被称为单射函数或一对一函数。否则，此函数将被称为多对一函数。

现在我们将展示两张图片，其中第一张图片展示了一个单射函数，第二张不是单射函数，这意味着它是多对一的。

上图包含两个集合，集合 A 和集合 B。集合 A 用于表示定义域，集合 B 用于表示陪域。在图 1 中，集合 A 的每个元素都与集合 B 的唯一元素连接。因此，图 1（即左侧图像）是单射函数或一对一函数。在第二张图片中，集合 A 的两个元素连接到集合 B 的一个元素（c、d 连接到 3）。因此，图 2（即右侧图像）是多对一函数。

单射函数示例

单射函数也由恒等函数 A → A 表示。

示例 1：在此示例中，我们将考虑函数 f: R → R。现在必须证明 f(a) = 2a 是否是一对一函数或单射函数。

解：这里，R 是实数。

当我们代入 a 的值时，我们将得到：

如果 a = 1，则 f(1) = 2

如果 a = 2，则 f(2) = 4

如果 a = 3，则 f(3) = 6

如果 a = -1，则 f(-1) = -2

因此，每个函数为每个输入生成不同的输出。所以我们可以说函数 f(a) = 2a 是一个单射或一对一函数。

示例 2：在此示例中，我们将考虑一个函数 f: R → R。现在必须证明 f(a) = a/2 是否是单射函数。

解：这里，R 是实数。

当我们代入 a 的值时，我们将得到：

如果 a = 1，则 f(1) = 0.5

如果 a = 2，则 f(2) = 1

如果 a = 3，则 f(3) = 1.5

如果 a = 4，则 f(-1) = 2

因此，每个函数为每个输入生成不同的输出。所以我们可以说函数 f(a) = a/2 是一个单射函数。

示例 3：在此示例中，我们将考虑函数 f: R → R。现在必须证明 f(a) = a² 是否是单射函数。

解：这里，R 是实数。

当我们代入 a 的值时，我们将得到：

如果 a = 1，则 f(1) = (1)² = 1

如果 a = 2，则 f(2) = (2)²= 4

如果 a = 3，则 f(3) = (3)² = 9 (注意：原文是6，但3的平方是9，此处应为排版错误，已更正)

如果 a = -1，则 f(-1) = (-1)²= 1

如果 a = -2，则 f(-2) = (-2)²= 4

因此，每个函数不会为每个输入生成不同的输出。对于输入 -1 和 1，输出相同，即 1。对于输入 2、-2 等，情况也一样。所以我们可以说函数 f(a) = a² 不是一个单射或一对一函数。

示例 4：假设函数 f: R → R。现在必须证明 f(a) = a³ 是否是一对一函数或单射函数。

解：这里，R 是实数。

当我们代入 a 的值时，我们将得到：

如果 a = 1，则 f(1) = (1)³ = 1

如果 a = 2，则 f(2) = (2)³= 8

如果 a = 3，则 f(3) = (3)³ = 27

如果 a = -1，则 f(-1) = (-1)³= -1

因此，每个函数为每个输入生成不同的输出。所以我们可以说函数 f(a) = a³ 是一个单射或一对一函数。

单射图 - 水平线测试

借助几何测试或水平线测试，我们可以确定单射函数。

1. 如果函数的图形被水平线相交超过一次，则该函数将不会以一对一的形式映射。
2. 如果函数的图形只被水平线相交一次，则该函数将以一对一的形式映射。

为了理解这一点，我们将假设函数 f(x) = sin x 或 cos x 的图形，如下图所示：

在上图中，我们可以看到，当绘制水平线时，它与 cos x 和 sin x 的图形相交超过一次。这就是为什么我们可以说这些函数不是单射函数或一对一函数。

在下图中，我们将展示一对一函数的示例。

在此图中，这些函数满足水平线测试。这就是为什么这些函数是单射的。

抛物线是单射函数吗？

抛物线不是单射函数。我们可以通过水平线测试来证明这个理论。函数 f(a) = a² 用于表示抛物线。

当我们为这个函数绘制水平线时，我们会看到它将在两个点与抛物线相交。由于这两个点，一个输入有两个输出。因此，我们可以说抛物线不是一个单射函数。

单射函数的逆函数

如果有一个函数 f，那么 f 的逆函数将表示为 f^-1。如果我们将函数定义为 y = f(x)，那么它的逆函数将定义为 x = f^-1(y)。在这种情况下，f^-1 是从 y 到 x 定义的。在逆函数的情况下，f 的陪域将成为 f^-1 的定义域，f 的定义域将成为 f^-1 的陪域。

只有单射函数才包含逆函数，因为这些函数包含一对一的对应关系。这意味着定义域中的一个元素将只与值域中的一个元素对应。

假设我们有一个函数 f，它被定义为 f: X → Y。这里，如果存在一个函数 g，被定义为 g: Y → X，使得当我们操作 f{g(x)} 或 g{f(x)} 时，我们将得到起始值，那么 f 将是可逆的。现在我们将通过一些示例来学习这一点，这些示例描述如下：

示例：在此示例中，我们有 f: X → Y，其中 f(x) = 5x + 7。对于所有 x, y ∈ N 都是可逆的。

解：为此，我们将假设 y ∈ N。其中 y = f(x) = 5x + 7，对于 x ∈ N。

现在我们将像这样解上述方程：

y = 5x + 7

x = (y - 7) / 5

假设我们借助 h(y) = (y - 7) / 5 来指定 h: Y → X。

我们再次指定 h ∘ f(x) = h[f(x)] = h{5x + 7} = 5(y - 7) / 5 + 7 = x (注意：此处应为 h{5x + 7} = ( (5x+7) - 7 ) / 5 = 5x/5 = x)

然后我们指定 f ∘ h(y) = f[h(y)] = f((y - 7) / 5) = 5((y - 7) / 5) + 7 = y - 7 + 7 = y (注意：此处应为 f((y - 7) / 5) = 5 * ((y-7)/5) + 7 = y-7+7 = y)

因此，我们可以说 f 是一个可逆函数，h 是 f 的逆函数。

单射函数的性质

单射函数有很多性质。其中一些描述如下：

• 在单射函数中，值域和定义域包含等价的集合。
• 一对一函数的定义域和值域集合中包含相等数量的基数。
• 一对一函数用于遵循一些性质，即对称性、自反性和传递性。
• 当我们绘制单射函数的图形时，该图形将始终是一条直线。

更多单射函数的示例

我们已经学习了单射函数的示例，现在我们将学习更多示例以更好地理解这个主题。

示例 1：假设有两个集合 X 和 Y。这里集合 X = {1, 2, 3} 和 Y = {u, x, y, z}。现在我们必须确定集合中哪一个是一对一函数。

1. {(1, z), (2, z), (2, z)}
2. {(1, x), (2, y), (3, z)}
3. {(1, y), (1, z)}

解决方案

这里正确答案由选项 2所示，因为在集合 B（值域）中，所有元素都与集合 A（定义域）的所有元素唯一映射。

示例 2：在此示例中，我们有 f: R→ R。这里 f(x) = 3x³ - 4。现在我们必须证明这个函数是一对一的。

解决方案

对于此示例，我们将假设对于所有 x₁, x₂ ∈ R，f(x₁) = f(x₂)。

根据这个假设，我们可以说：

3x₁³ - 4 = 3x₂³ - 4

x₁³ = x₂³

x₁³ - x₂³ = 0

(x₁ - x₂) (x₁² + x₁x₂ + x₂²) = 0 (注意：原文是 (x₁ + x₁x₂ + x₂²)，应为 x₁² + x₁x₂ + x₂²，已更正)

x₁ = x₂ 和 (x₁² + x₁x₂ + x₂²) = 0 (注意：原文是 (x₁2 + x₁x₂2 + x₂²)，应为 x₁² + x₁x₂ + x₂²，已更正)

由于 (x₁² + x₁x₂ + x₂²) = 0 不包含任何实数值。这就是为什么我们不能考虑 (x₁² + x₁x₂ + x₂²) = 0。

因此，给定函数 f(x) = 3x³ - 4 是一对一的。

示例 3：在此示例中，我们有两个函数 f(x) 和 g(x)。其中 f(x) = x + 1 且 g(x) = 2x + 3。现在我们必须确定 gof(x) 并确定这个函数是否是单射函数。

解：正如我们所知，f(x) = x + 1 和 g(x) = 2x + 3。要确定 gof(x)，我们必须组合这两个函数。

g(f(x)) = g(x + 1) = 2(x + 1) + 3 = 2x + 2 + 3 = 2x + 5

gof(x) = 2x + 5

在这个复合函数的定义域中，我们将考虑前 5 个自然数，如下所示：

当 x = 1, 2, 3, 4, 5 时，我们将得到以下结果：

gof(1) = 2(1) + 5 = 2 + 5 = 7

gof(2) = 2(2) + 5 = 4 + 5 = 9

gof(3) = 2(3) + 5 = 6 + 5 = 11

gof(4) = 2(4) + 5 = 8 + 5 = 13

gof(5) = 2(5) + 5 = 10 + 5 = 15

因此，gof(x) = {(1, 7), (2, 9), (3, 11), (4, 13), (5, 15)}。

借助 gof(x) 的值，我们可以说定义域中的不同元素映射到值域中的不同图像。

因此，上述函数是一对一或单射函数。