概率论中的重复试验

重复试验是指事件发生一次或多次的试验。成功（p）和失败（q）的概率用于确定试验中 n 次成功的总概率。

例如：

抛掷硬币三次的概率

我们知道硬币有两种可能的结局：正面（H）和反面（T）。出现正面的概率 P(H) = 1/2。出现反面的概率 P(T) = 1/2。正面（H）和反面（T）结局的概率相等，因为它们发生的几率相同。

抛掷硬币三次的结局有 (H, H, H)、(H, H, T)、(H, T, H)、(T, H, H)、(T, T, H)、(T, H, T)、(H, T, T) 和 (T, T, T)。

获得两次正面和一次反面的结局是 (H, H, T)、(H, T, H)、(T, H, H)

每次结局的概率将是 (1/2 x 1/2 x 1/2) = (1/2)³

获得两次正面和一次反面的总概率 = 3 x (1/2)³

抛掷硬币两次的结局是 (H, H)、(H, T)、(T, H)、(T, T)。类似地，我们可以找到各种结局的概率。

如果一个试验重复 n 次，则“r”次成功和“n - r”次失败的概率将是

p^r q^{n - r}

其中，

p = 成功的概率

q = 失败的概率

在概率中，重复进行相同试验的实验称为重复试验。在概率中，重复试验可以减少误差，提高实验的可靠性和准确性。

二项分布

它涉及重复试验，其中使用成功、失败、发生或不发生的概念。我们知道，在一系列 n 次试验中，“r”次成功的概率由下式给出：

ⁿC_r p^r q^{n - r}

其中，

p = 成功的概率

q = 失败的概率

n 是试验的总次数

r 表示在一系列 n 次试验中的成功次数。r 的值在 0 和 n 之间。

0 次成功的概率表示为：ⁿC₀ p⁰ q^{n - 0} = qⁿ

1 次成功的概率表示为：ⁿC₁ p¹ q^{n - 1}

2 次成功的概率表示为：ⁿC₂ p² q^{n - 2}

n 次成功的概率表示为：ⁿC_n pⁿ q^{n - n} = pⁿ

(ⁿC₀ = 1, ⁿC_n = 1, p⁰ = 1, q⁰ = 1)

概率之和始终为 1

ⁿC₀ p⁰ q^{n - 0} + ⁿC₁ p¹ q^{n - 1} + ⁿC₂ p² q^{n - 2} + ⁿC_n pⁿ q^{n - n}

= qⁿ + ⁿC₁ p¹ q^{n - 1} + ⁿC₂ p² q^{n - 2} + pⁿ

= (qⁿ + pⁿ) = 1

示例

让我们根据重复试验讨论一些数值示例。

示例 1：一家公司生产的铅笔有 2/10 的概率是次品。如果生产了 10 支这样的笔，请找到以下概率：（a）恰好有三支是次品（b）至少有两支是次品（c）没有一支是次品。

解决方案

铅笔是次品的概率 = 2/10 = 0.2

铅笔不是次品的概率 = (1 - 0.2) = 0.8

此处，

p = 0.2

q = 0.8

n = 10

a) 恰好有三支是次品的概率是

= ⁿC₃ p³q^{n - 3}

= ¹⁰C₃ (0.2)³ (0.8)⁷

b) 至少有两支是次品的概率是

= 1 - [(没有一支是次品的概率) + (有一支是次品的概率)]

= 1 - (¹⁰C₀ (0.2)⁰ (0.8)¹⁰ + ¹⁰C₁ (0.2)¹ (0.8)⁹)

= 1 - ( (0.8)¹⁰ + ¹⁰C₁ (0.2)¹ (0.8)⁹)

c) 没有一支是次品的概率是

= ⁿC₀ p⁰q^{n - 0}

= ¹⁰C₀ (0.2)⁰ (0.8)¹⁰

= (0.8)¹⁰

示例 2：当我们抛掷硬币 15 次时，获得 5 次正面的概率是多少？

解答：在抛掷硬币的实验中，有两种结局：正面和反面。两者发生的概率相等，为 1/2 或 0.5。

已知：重复试验次数 = 15

获得正面的成功试验次数 = 5

成功概率 = ½ = 0.5

失败概率 = (1 - 0.5) = 0.5

使用二项分布，在一系列 n 次试验中，“r”次成功的概率由下式给出

ⁿC_r p^r q^{n - r}

其中，

n = 15

r = 6

p = 0.5

q = 0.5

代入数值，我们得到

¹⁵C₆ (0.5)⁶ (0.5)⁹

求解后，我们得到

= 0.0139 (近似值)

示例 3：在一枚硬币抛掷 16 次的 256 组中，可以预期出现 10 次正面和 6 次反面的情况有哪些？

解答：单次抛掷硬币会产生两种结局：正面和反面，它们发生的几率相等。

P (正面) = 1/2

P (反面) = 1/2

根据二项分布，在一枚硬币抛掷 16 次的总次数中，出现 10 次正面和 6 次反面的概率将是

P (X = 10) = ¹⁶C₁₀ (1/2)¹⁰ (1/2)⁶

P (X = 10) = ¹⁶C₁₀ (1/2)¹⁶

P (X = 10) = ¹⁶C₁₀ (0.5)¹⁶

P (X = 10) = ¹⁶C₁₀ (0.5)¹⁶

P (X = 10) = 0.122

256 组中的预期情况数是

256 x P (X = 10)

= 256 x 0.122

= 31.28

因此，在一枚硬币抛掷 16 次的 256 组中，可以预期出现 10 次正面和 6 次反面的情况是31.28。

示例 4：在一枚硬币抛掷 6 次的 16 组中，可以预期出现 4 次正面和 2 次反面的情况有哪些？

解答：单次抛掷硬币会产生两种结局：正面和反面，它们发生的几率相等。

P (正面) = 1/2

P (反面) =1/2

根据二项分布，在一枚硬币抛掷 6 次的总次数中，出现 4 次正面和 2 次反面的概率将是

P (X = 4) = ⁶C₄ (1/2)⁴ (1/2)²

P (X = 4) = ⁶C₄ (1/2)⁶

P = 0.234

16 组中的预期情况数是

16 x P (X = 4)

= 16 x 0.234

= 3.75

因此，在一枚硬币抛掷 6 次的 16 组中，可以预期出现 4 次正面和 2 次反面的情况是3.75。

示例 5：在对一台机器制造的多个零件进行抽样时，20 个样本中次品零件的平均数量为 2。在 2000 个样本中，有多少个预期至少包含 2 个次品零件？

解答：次品平均数 = 2

平均值 = np

其中，

n 是零件的数量

p 是样本是次品的概率

np = 2

20p = 2

P = 2/20

= 0.1

样本是次品的概率 = 0.1

样本不是次品的概率 = (1 - 0.1) = 0.9

20 个样本中至少有两个次品的概率是

1 - (没有次品的概率 + 有一个次品的概率)

= 1 - (²⁰C₀ (0.9)²⁰ + ²⁰C₁ (0.1) (0.9)¹⁹)

= 1 - ((0.9)²⁰ + 20 (0.1) (0.9)¹⁹)

= 1 - (0.3917)

= 0.608

因此，在 2000 个样本中，包含至少两个次品的样本数量是

2000 x 0.608

= 1216.5