群组

设 G 是一个非空集合，带有一个二元运算 *，它将 G 的元素的每个有序对 (a, b) 分配给 G 的一个元素，表示为 a * b。 如果满足以下三个属性，我们说 G 在二元运算 * 下是一个群

1) 结合律： 二元运算 * 是结合的，即 a*(b*c)=(a*b)*c , ∀ a,b,c ∈ G

2) 单位元： 在 G 中存在一个元素 e，称为单位元，使得 a*e=e*a=a, ∀ a ∈ G

3) 逆元： 对于 G 中的每个元素 a，在 G 中存在一个元素 b，称为 a 的逆元，使得 a*b=b*a=e, ∀ a, b ∈ G

注意：如果一个群具有 a*b=b*a 的属性，即满足交换律，则该群称为阿贝尔群。

群的性质

以下定理可以理解群的基本特征

定理1:-

1. 声明： - 在群 G 中，只有一个单位元（单位元的唯一性）证明：- 设 e 和 e' 是 G 中的两个单位元，设 a ∈ G

∴ ae = a ⟶(i)
∴ ae' = a ⟶(ii)

(i) 和 (ii) 的 R.H.S 相等 ⇒ae =ae'

因此，根据左消去律，我们得到 e= e'

对于任何 a ∈ G，G 中只有一个单位元。 因此，该定理得到证明。

2. 声明： - 对于群 G 中的每个元素 a，在 G 中存在一个唯一元素 b，使得 ab= ba=e（逆元的唯一性）

证明： - 设 b 和 c 都是 a a∈ G 的逆元

那么 ab = e 且 ac = e
∵ c = ce {单位元的存在}
⟹ c = c (ab) {∵ ab = e}
⟹ c = (c a) b
⟹ c = (ac) b { ∵ ac = ca}
⟹ c = eb
⟹ c = b { ∵ b = eb}

因此，a G 的逆元是唯一的。

定理 2:-

1. 声明： - 在群 G 中,(a^-1)^-1=a,∀ a∈ G

证明： 我们有 a a^-1=a^-1 a=e

其中 e 是 G 的单位元

因此 a 是 a^-1∈ G 的逆元

即，(a^-1)^-1=a,∀ a∈ G

2. 声明： 在群 G 中,(a b^-1)=b^-1 a^-1,∀ a,b∈ G

证明： - 根据结合律，我们有

(b^-1 a^-1)ab=b^-1 (a^-1 a)b
⟹(b^-1 a^-1)ab=b^-1 (e)b         {∵a^-1 a=e}
⟹(b^-1 a^-1)ab=b^-1 b         {∵eb=b}
⟹(b^-1 a^-1)ab=e,         {∵b^-1 b=e}

同样

(ab) (b^-1 a^-1)=a(b b^-1) a^-1
⟹(ab) (b^-1 a^-1)=a (e) a^-1
⟹(ab) (b^-1 a^-1)=a a^-1
⟹(ab) (b^-1 a^-1)=e         {∵aa^-1=e}
因此 ( b^-1 a^-1)ab=(ab)(b^-1 a^-1)=e
∴ b^-1 a^-1 是 ab 的逆元
即，b^-1 a^-1= a b^-1

因此，该定理得到证明。

定理3:-

在群 G 中，左消去律和右消去律成立，即

(i) ab = ac implies         b=c

(ii) ba=ca implies         b=c

证明

(i) 设 ab=ac
在两侧预乘 a^-1，我们得到
        a^-1 (ab)=a^-1 (ac)
        ⟹ (a^-1a) b=(a^-1 a)c
        ⟹eb=ec
        ⟹b=c

(ii) 设 ba=ca
在两侧后乘 a^-1
        ⟹(ba) a^-1=(ca) a^-1
        ⟹b(aa^-1 )=c(aa^-1 )
        ⟹be=ce
        ⟹b=c

因此，该定理得到证明。

有限群和无限群

如果 G 是一个有限集合，则群 (G, *) 称为有限群。

如果 G 是一个无限集合，则群 (G, *) 称为无限群。

示例1： 群 (I, +) 是一个无限群，因为整数集 I 是一个无限集。

示例2： 在模 8 乘法下的群 G = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 是一个有限群，因为集合 G 是一个有限集。

群的阶

群 G 的阶是群 G 中元素的数量。 它表示为 |G|。 阶数为 1 的群只有单位元，即，({e} *)。

阶数为 2 的群有两个元素，即，一个单位元和一个其他元素。

示例1： 设 ({e, x}, *) 是一个阶数为 2 的群。运算表如图所示

阶数为 3 的群有三个元素，即，一个单位元和其他两个元素。