递推关系

递归关系是自变量 x、因变量 f(x) 和 f(x) 的各种阶差分之间的函数关系。递归关系也称为差分方程，我们将交替使用这两个术语。

例1： 方程 f (x + 3h) + 3f (x + 2h) + 6f (x + h) + 9f (x) = 0 是一个递归关系。

              也可以写成

ar+3 + 3ar+2 + 6ar+1 + 9ar = 0
yk+3 + 3yk+2 + 6yk+1 + 9yk = 0

例2： 斐波那契数列由递归关系 a_r = a_r-2 + a_r-1 定义，r≥2，初始条件为 a₀=1 和 a₁=1。

递归关系的阶数

递归关系或差分方程的阶数定义为 f(x) 或 a_r=y_k 的最高和最低下标之间的差。

例1： 方程 13a_r+20a_r-1=0 是一个一阶递归关系。

例2： 方程 8f (x) + 4f (x + 1) + 8f (x+2) = k (x)

差分方程的次数

差分方程的次数定义为 f (x) 或 a_r=y_k 的最高幂

例1： 方程 y³_k+3+2y²_k+2+2y_k+1=0 的次数为 3，因为 y_k 的最高幂为 3。

例2： 方程 a⁴_r+3a³_r-1+6a²_r-2+4a_r-3 =0 的次数为 4，因为 a_r 的最高幂为 4。

例3： 方程 y_k+3 +2y_k+2 +4y_k+1+2y_k= k(x) 的次数为 1，因为 y_k 的最高幂为 1，其阶数为 3。

例4： 方程 f (x+2h) - 4f(x+h) +2f(x) = 0 的次数为 1，其阶数为 2。