离散数学中的重言式

重言式 (Tautology) 是一个复合命题，对于其中各个简单命题的所有真值组合，它都始终为真。重言式一词来源于希腊语，其中 'tauto' 意为“相同”，'logy' 意为“逻辑”。有一些条件词用于构成复合命题，例如：如果、那么、和、或、非、当且仅当。我们将这些词用于两个简单命题之间。例如：假设有两个给定的命题 A 和 B。那么，(A ⇒ B) ∨ (B ⇒ A) 是一个重言式。

以下是一些重言式的简单例子：

• 杰克是个好男孩，或者杰克不是个好男孩。
• 他要么选择学习生物，要么不选择学习生物。
• 一个数可以是偶数，或者一个数不可能是偶数。

离散数学中的重言式

重言式可以描述为一个复合命题，它总是产生真值。命题的各个部分不影响重言式的真值。通过使用逻辑符号，可以轻松地将日常语言中的重言式翻译成数学表达式。例如：我的叔叔给了我 100 卢比，或者我的叔叔不会给我 100 卢比。

为了理解这个例子，我们将采用

逻辑运算符“或”用于生成上述两个单独的命题，用符号“∨”表示。

所以这些命题可以写成以下形式

现在我们需要确定上述两个给定命题是否生成了一个有效的答案。

情况 1： 我的叔叔给了我 100 卢比。这里，第一个命题产生真值，第二个命题产生假值。通过“或”运算符连接给定的命题。因此，它将生成一个真命题。

情况 2： 我的叔叔不会给我 100 卢比。这里，第一个命题产生假值，第二个命题产生真值。因此，它将生成一个真命题。

现在我们将使用真值表来描述这个命题，如下所示：

因此，上表的最后一列对于所有值都为真。所以我们可以说给定的命题是重言式。

重言式逻辑符号

复合命题可以使用重言式来表示，它使用了不同的逻辑符号。离散数学中使用的各种符号、它们的含义和表示法如下：

重言式真值表

简单命题可以通过逻辑符号连接，从而定义复合命题。这个过程称为逻辑运算。在离散数学中，有五种主要的逻辑运算，它们通过一些符号进行，即 AND（与）、Conditional（条件）、OR（或）、NOT（非）和 Bi-conditional（双条件）。假设有两个命题 A 和 B。

我们将使用真值表来解释这些符号及其运算。重言式的定义也可以用真值表以简单的方式解释。可以使用真值表来测试各种复合命题和逻辑命题。现在我们将学习如何构造真值表。

真值表的第一列用于表示复合命题的第一部分。真值表的第二列用于表示复合命题的第二部分。之后是逻辑连接词，如或、与、非等。这些逻辑命题用于提供复合命题的含义。这两个命题之间的关系包含在真值表的第三列中。如果第三列的结果为真 (T)，则给定的复合命题为重言式。现在我们将使用真值表来描述所有这些符号、它们的运算和含义。所有符号如下：

AND 运算

符号 ∧ 用于表示 AND 运算。如果我们使用 AND 符号来构成两个简单命题并形成复合命题，那么它将被称为两个命题的合取。假设有两个命题 A 和 B。 A 和 B 之间的 AND 运算由真值表描述，如下所示：

OR 运算

符号 ∨ 用于表示 OR 运算。如果我们使用 OR 符号来构成两个简单命题并形成复合命题，那么它将被称为两个命题的析取。假设有两个命题 A 和 B。 A 和 B 之间的 OR 运算由真值表描述，如下所示：

NOT 运算

符号 ∼ 用于表示 NOT 运算。如果我们使用 NOT 符号来改变命题的真值，那么它将被称为给定命题的否定。假设有一个命题 A。 A 上的 NOT 运算可以通过真值表描述，如下所示：

Conditional 运算

符号 ⇔ 用于表示条件运算。如果我们使用“如果和那么”符号来构成两个简单命题并形成复合命题，那么它将被称为条件运算。蕴含符号也用于表示条件运算。假设有两个命题 A 和 B。 A 和 B 之间的条件运算由真值表描述，如下所示：

Bi-Conditional 运算

符号 ⇔ 用于表示双条件运算。如果我们使用“当且仅当”符号来构成两个简单命题并形成复合命题，那么它将被称为双条件运算。假设有两个命题 A 和 B。 A 和 B 之间的双条件运算由真值表描述，如下所示：

重言式示例

有各种重言式示例，如下所示：

示例 1

在此示例中，我们需要确定命题 ~h ⇒ h 是否为重言式。

解决方案： 有一个命题 h。这个命题的真值可以写成以下形式：

从上表可以看出，~h ⇒ h 的真值为 {T, F}。因此，这个命题不是重言式。

示例 2

在此示例中，我们需要确定命题 p ⇒ (p ∨ q) 是否为重言式。

解决方案： 有两个命题 p 和 q。这些命题的真值可以写成以下形式：

从上表可以看出，对于所有简单命题，p ⇒ (p ∨ q) 的真值为真。因此，这个命题是重言式。

示例 3

在此示例中，我们需要确定命题 ~A ∧ B ⇒ ~(A ∨ B) 是否为重言式。

解决方案： 有两个命题 A 和 B。这些命题的真值可以写成以下形式：

从上表可以看出，对于所有简单命题，~A ∧ B ⇒ ~(A ∨ B) 的真值为真。因此，这个命题是重言式。

重言式与矛盾式

在上面的解释中，我们学习了重言式一词。重言式的对立面被称为矛盾式 (Contradiction)。假设我们使用两个命题通过逻辑运算构成一个复合命题。如果其结果为假，则称为复合命题。矛盾式也称为谬误 (Fallacy)。例如，假设有两个命题 A 和 B。如果 (A ⇒ B) ∨ (B ⇒ A) 是重言式，在这种情况下，~(A ⇒ B) ∨ (B ⇒ A) 将是矛盾式或谬误。