离散数学中的非奇异矩阵

如果给定矩阵的行列式等于一个非零值，那么该矩阵将是非奇异矩阵。非奇异矩阵必须是方阵。非奇异矩阵具有一个性质，即我们可以找到非奇异矩阵的逆，因为该矩阵在行列式计算结果中包含一个非零值。

在本节中，我们将学习非奇异矩阵，计算二维和三维行列式，如何找到非奇异矩阵，它们的性质、示例以及更多内容。

什么是奇异矩阵

如果一个矩阵是方阵且其行列式不等于0，则称该矩阵为非奇异矩阵。这种矩阵是一种逆矩阵，我们可以找到它的逆，因为它的行列式值不为零。假设有一个方阵A，其中

当且仅当其行列式等于一个非零值时，该矩阵才称为非奇异矩阵A，即：

|A| = |ad - bc| ≠ 0

寻找非奇异矩阵

我们可以通过计算矩阵的行列式来判断给定的矩阵是奇异矩阵还是非奇异矩阵。对于非奇异矩阵，我们将得到一个非零的行列式结果。有两种方法可以计算非奇异矩阵的行列式。第一种方法是通过行或列运算来计算矩阵的行列式。第二种方法是利用矩阵元素的代数余子式来确定行列式。

行列式的行和列运算规则

在对行列式进行行和列运算时，有一些规则需要遵循，如下所述：

• 如果交换行和列，则行列式的值不会改变。
• 假设我们有两个行或任意两列。如果我们交换它们，行列式的符号将改变。
• 如果一个矩阵的两行或两列中的元素相同，则行列式的值为0。
• 如果用一个常数乘以某一行或某一列的所有元素，则行列式的值也将乘以该常数。
• 如果将行或列的元素表示为元素之和，则行列式也将表示为行列式之和。
• 如果将某一行或某一列的元素加上或减去另一行或某一列对应元素的倍数，则行列式的值不会改变。

如果有一个1*1阶的方阵，只包含一个数字，则行列式的值就是这个数字本身。现在我们将看到如何计算二阶和三阶矩阵的行列式。

计算二维行列式

通过行列式公式，我们可以计算一个阶为2*2或任何二维方阵的行列式。假设我们有以下2*2阶的方阵：

我们可以按照以下方式计算该矩阵的二维行列式：

|C| = (a*d - b*c)

计算三维行列式

通过以下步骤，我们可以计算一个阶为3*3或任何三维方阵的行列式。假设我们有以下3*3阶的方阵：

这里我们将通过第一行来计算上述矩阵的行列式。因此，首先我们将第一行的元素a1、b1和c1乘以它们各自的代数余子式。当我们对元素与其各自代数余子式的乘积求和时，将得到上述方阵的行列式值。或者，我们可以利用任意一行或某一列的元素来确定矩阵的行列式。

|C| = a1(b2c3 - b3c2) - b1(a2c3 - a3c2) + c1(a2b3 - a3b2)

非奇异矩阵的性质

非奇异矩阵包含许多性质，其中一些如下所述：

• 当我们计算非奇异矩阵的行列式时，其结果将始终是非零值。
• 我们可以轻松计算非奇异矩阵的行列式，因此它也被称为可逆矩阵。
• 对于非奇异矩阵，我们可以计算其行列式，因此它是一个方阵。
• 如果我们对两个非奇异矩阵进行乘法运算，则结果仍然是非奇异矩阵。
• 如果存在一个常数k和一个非奇异矩阵A，那么kA的乘积将是一个非奇异矩阵。

与非奇异矩阵相关的术语

在学习非奇异矩阵的概念时，有一些术语是我们应该了解的，以便能够正确理解非奇异矩阵。这些术语如下所述：

奇异矩阵： 如果一个矩阵的行列式等于0，则称该矩阵为奇异矩阵。如果存在一个奇异矩阵A，则其行列式|A| = 0。奇异矩阵不能求逆。

子式： 矩阵中的每个元素都有一个子式。特定元素的子式等于我们通过消除包含该元素的行和列后得到的行列式。现在我们将通过一个例子来理解这一点。假设有一个矩阵A，其中包含以下元素：

现在我们将按如下方式得到元素a₁₁的子式：

行列式： 矩阵的行列式可以描述为矩阵的唯一值表示。在非奇异矩阵中，我们可以使用矩阵的任何行或列来确定该矩阵的行列式。换句话说，我们可以说矩阵的行列式可以通过特定行和列的元素与其代数余子式乘积之和来计算。

伴随矩阵： 我们可以通过计算给定矩阵的代数余子式矩阵的转置来计算矩阵的伴随矩阵。

矩阵的逆： 这种矩阵是另一种类型的矩阵。如果我们用逆矩阵乘以给定矩阵，结果将生成一个乘法单位元。假设有一个2*2阶的矩阵。如果我们用该矩阵的行列式除以其伴随矩阵，则可以得到该矩阵的逆，即：

A^-1 = 1/|A| adj A

非奇异矩阵的示例

有很多非奇异矩阵的例子，其中一些如下所述：

示例1： 在这个例子中，我们有一个矩阵A，需要确定它是否是非奇异矩阵。矩阵A的元素如下：

解： 要确定给定矩阵是否是非奇异矩阵，我们首先需要计算该矩阵的行列式。根据问题，我们有以下矩阵：

上述矩阵是2*2阶矩阵的形式，如下所示：

我们已经学过这个矩阵的行列式|A|将按如下方式计算：

|A| = |ad - bc|

所以

|A| = 1(5) - 3(-4) = 5 - (-12) = 5 + 12

|A| = 17

该矩阵的行列式是17，不等于0。因此，这是一个非奇异矩阵。

示例2： 在这个例子中，我们有一个矩阵A，需要确定它是否是非奇异矩阵。矩阵A的元素如下：

解： 要确定给定矩阵是否是非奇异矩阵，我们首先需要计算该矩阵的行列式。根据问题，我们有以下矩阵：

这里我们将使用第一行元素的代数余子式，并尝试按以下方式计算矩阵A的行列式：

|A| = 4[3(2) - 5(7)] - 1[2(2) - (-1)(5)] + 0[2(7) - (-1)(3)]

|A| = 4[6 - 35] - 1[4 + 5] + 0[14 + 3]

|A| = 4[-29] - 1[9] + 0[17]

|A| = -116 - 9 + 0

|A| = -97

该矩阵的行列式是-97，不等于0。因此，这是一个非奇异矩阵。