离散数学中的结合律

在离散数学中，我们可以将结合律应用于三个数字的乘法或加法。根据此定律，如果存在三个数字 x、y 和 z，那么这些数字之间存在以下关系。

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z
X * (Y * Z) = (X * Y) * Z

借助上述表达式，我们可以理解加法或乘法的计算结果不会影响我们如何组合或结合这些数字。我们可以将此定律应用于所有实数。主要的四种算术运算是加法、减法、乘法和除法。结合律只能应用于加法和乘法这两种运算。我们不能将其应用于其他算术运算，即除法和减法，因为当我们使用这些运算时，结果可能会发生变化。根据结合律，当我们对某些整数进行加法和乘法运算并改变这些整数的位置时，在这种情况下，整数的符号不会改变。

结合律公式

结合律的定义用于确定其公式和定义。根据定义，如果我们对三个数字进行加法或乘法运算，那么这些数字将独立于它们的组合或结合。换句话说，在加法或乘法过程中三个数字的组合或分组不会影响它们的结果。假设有三个数字 X、Y 和 Z。根据此定律，这些数字之间存在以下关系。

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z
X * (Y * Z) = (X * Y) * Z

加法的结合律

加法运算遵循结合律。在这里，我们如何相加数字并不重要，但它们的最终结果将始终相同。假设有三个数字 X、Y 和 Z，这些数字将包含以下关系。

X + (Y + Z) = (X + Y) + Z = X + Y + Z

乘法的结合律

乘法运算也遵循结合律。在这里，我们如何组合数字并不重要，但它们的最终结果将始终相同。如果存在三个数字 X、Y 和 Z，那么这些数字将包含以下关系。

X * (Y * Z) = (X * Y) * Z = X * Y * Z

结合律的证明

在上面的解释中，我们已经讨论了结合律的工作原理。有一些例子可以证明这些性质。

加法结合律的证明

在这里，我们将通过各种示例来证明加法的结合律，具体如下：

示例 1：在本例中，我们需要证明 4 + (5 + 3) = (4 + 5) + 3

解答：为证明这一点，我们将首先计算 LHS（左侧）部分。

4 + (5 + 3) = 4 + 8 = 12

现在我们将计算 RHS（右侧）部分。

(4 + 5) + 3 = 9 + 3 = 12

因此，我们已经证明了

LHS = RHS

因此，

4 + (5 + 3) = (4 + 5) + 3 （证明完毕）

示例 2：在本例中，我们需要证明 1 + (-3 + 6) = (1 + (-3)) + 6

解答：为证明这一点，我们将首先计算 LHS（左侧）部分。

1 + (-3 + 6) = 1 + 3 = 4

现在我们将计算 RHS（右侧）部分。

(1 + (-3)) + 6 = (1 - 3) + 6 = -2 + 6 = 4

因此，我们已经证明了

LHS = RHS

因此，

1 + (-3 + 6) = (1 + (-3)) + 6 （证明完毕）

示例 3：在本例中，我们需要证明 -3 + (-5 + 9) = (-3 + (-5)) + 9

解答：为证明这一点，我们将首先计算 LHS（左侧）部分。

-3 + (-5 + 9) = -3 + 4 = 1

现在我们将计算 RHS（右侧）部分。

(-3 + (-5)) + 9 = (-3 + -5) + 9 = -8 + 9 = 1

因此，我们已经证明了

LHS = RHS

因此，

-3 + (-5 + 9) = (-3 + (-5)) + 9 （证明完毕）

乘法结合律的证明

在这里，我们将通过各种示例来证明乘法的结合律，具体如下：

示例 4：在本例中，我们需要证明 4 * (5 * 3) = (4 * 5) * 3

解答：为证明这一点，我们将首先计算 LHS（左侧）部分。

4 * (5 * 3) = 4 * 15 = 60

现在我们将计算 RHS（右侧）部分。

(4 * 5) * 3 = 20 * 3 = 60

因此，我们已经证明了

LHS = RHS

因此，

4 * (5 * 3) = (4 * 5) * 3 （证明完毕）

示例 5：在本例中，我们需要证明 2 * (-3 * 6) = (2 * (-3)) * 6

解答：为证明这一点，我们将首先计算 LHS（左侧）部分。

2 * (-3 * 6) = 2 * (-18) = -36

现在我们将计算 RHS（右侧）部分。

(2 * (-3)) * 6 = (-6) * 6 = -36

因此，我们已经证明了

LHS = RHS

因此，

2 * (-3 * 6) = (2 * (-3)) * 6 （证明完毕）

为什么不能用于除法和减法

我们已经了解到除法和减法运算不能应用结合律。现在我们将通过一些例子来理解这一点，具体如下：

减法

假设有三个整数 3、6 和 5。现在我们假设可以将结合律应用于减法。因此，必须满足此条件。

3 - (6 - 5) = (3 - 6) - 5

为证明这一点，我们将首先计算 LHS 部分。

3 - (6 - 5) = 3 - 1 = 2

现在我们将计算 RHS（右侧）部分。

(3 - 6) - 5 = -3 - 5 = -8

从 LHS 和 RHS，我们看到 2 ≠ -8

故，

3 - (6 - 5) ≠ (3 - 6) - 5

因此，证明了结合律不能应用于减法。

除法

假设有三个整数 27、9 和 3。现在我们假设可以将结合律应用于除法。因此，必须满足此条件。

27 / (9 / 3) = (27 / 9) / 3

为证明这一点，我们将首先计算 LHS 部分。

27 / (9 / 3) = 27 / 3 = 9

现在我们将计算 RHS（右侧）部分。

(27 / 9) / 3 = 3 / 3 = 1

从 LHS 和 RHS，我们看到 9 ≠ 1

故，

27 / (9 / 3) ≠ (27 / 9) / 3

因此，证明了结合律不能应用于除法。