量词

此语句显然为真。“存在一个 x 使得”这一短语称为存在量词，“对于每一个 x”这一短语称为全称量词。公式中的变量不能简单地为真或为假，除非我们使用量词来绑定这些变量。

示例 2

假设我们有两个语句，即 ∀x : x² +1 > 0 和 ∀x : x² > 2。对于 x = 1，第一个语句 ∀x : x² +1 > 0 为真，但第二个语句 ∀x : x² > 2 为假，因为它不满足谓词。另一方面，如果我们将第二个语句写为 ∃x : x² > 2，它将为真，因为 x = 2 是一个满足它的例子。

在量化表达式中，如果存在一个变量，那么我们总是假设该变量来自某个基本集合。如果我们将 x 指定为实数，那么语句 ∀x : x² +1 > 0 将为真。但如果我们将 x 指定为复数（例如 i），则此语句将为假。在这种情况下，谓词将不满足 x = i，因为我们没有指定 i 的值。

全称量词

有时数学语句断言，如果给定属性对于给定域中变量的所有值都为真，则该域将被称为论域。使用全称量词，我们可以轻松表达这些语句。全称量词符号表示为 ∀，表示“对于所有”。假设 P(x) 用于表示谓词，D 用于表示 x 的域。全称语句将采用形式 “∀x ∈ D, P(x)”。全称语句的主要目的是形成一个命题。在量词中，域非常重要，因为它用于决定 x 的可能值。当我们改变域时，P(x) 的全称量词的含义也会改变。当我们使用全称量词时，必须指定域。没有域，全称量词就没有意义。

语句 ∀xP(x) 为真当且仅当 P(x) 对于 D 中的每个 x 为真，或者 P(x) 对于 x 替换的每个值都为真。语句 ∀xP(x) 为假当且仅当 P(x) 对于 D 中的至少一个 x 为假。使谓词 P(x) 为假的 x 的值称为全称语句的反例。如果论域包含有限值，例如 {n₁, n₂, n₃, …, n_k}，则全称量词将是所有元素的合取，描述如下

示例 1：假设 P(x) 表示谓词“x 必须选修电子课程”，Q(x) 也表示谓词“x 是电气学生”。现在我们将找出这两个谓词的全称量词。

解决方案：假设学生来自 ABC 学院。对于这两个谓词，论域将是所有 ABC 学生。

这些语句可以是：“每个电气学生都必须选修电子课程”。以下语法用于定义此语句

此语句可以用另一种方式表达：“每个人都必须选修电子课程或成为电气学生”。以下语法用于定义此语句

示例 2：假设 P(x) 表示谓词“x 是一个正方形”，Q(x) 也表示谓词“x 是一个矩形”。现在我们将找出这些谓词的全称量词。

解决方案

语句必须是

∀x (x 是一个正方形 ⇒ x 是一个矩形)，即“所有正方形都是矩形”。以下语法用于描述此语句

有时，我们可以使用这种结构来表达“如果这样，那么那样”形式的数学句子，并带有“隐含”的量词。

全称条件语句

此语句的形式为：∀x，如果 P(x) 则 Q(x)。

例如：在此示例中，我们将以下语句改写为以下形式

如果杰克 18 岁或以上，那么他有资格投票。

存在量词

有时数学语句断言我们有一个包含某些属性的元素。使用存在量词，我们可以轻松表达这些语句。存在量词符号表示为 ∃，表示“存在”。假设 P(x) 用于表示谓词，D 用于表示 x 的域。存在语句将采用形式 “∃x ∈ D 使得 P(x)”。存在语句的主要目的是形成一个命题。语句 ∃xP(x) 为真当且仅当 P(x) 对于 D 中的至少一个 x 为真。语句 ∃xP(x) 为假当且仅当 P(x) 对于 D 中的所有 x 都为假。使谓词 P(x) 为假的 x 的值称为存在语句的反例。

如果论域包含有限值，例如 {n₁, n₂, n₃, …, n_k}，则全称量词将是所有元素的析取，描述如下

示例 1：假设 P(x) 包含语句“x > 4”。现在我们将找出此语句的真值。

解决方案

此语句对于所有小于 4 的实数都为假，对于所有大于 4 的实数都为真。

此语句对于 x=6 为假，对于 x=4 为真。现在我们将把上面的语句与下面的语句进行比较。所以

否定量化语句

前面我们举了一个例子，其中语句 ∀x : x² > 2 对于 x=1 为假，而 ∀x : x² +1 > 0 为真。第一个语句为假，因为 x=1 无法满足谓词。在这种情况下，我们找到了一个解决方案，即我们可以通过将 ∀ 翻转为 ∃ 来否定 ∀ 语句。之后，我们将否定内部的谓词。

例如：∀x : P(x) 的否定是 ∃x : P(x)。

如果语句谓词 ∀x : P(x) 为真，则 ∃x : P(x)。此处，满足 P(x) 的 x 称为反例，它声称 ∀x : P(x)。类似地，如果我们要否定 ∃x : P(x)，我们必须声称 P(x) 对于任何 x 的值都不成立。所以我们再次翻转量词，然后像这样否定谓词

嵌套量词

嵌套量词被许多重要的数学语句使用。例如

让我们假设一个语句，它说“对于每一个实数，我们都有一个比它更大的实数”。我们将这样写这个语句

或者假设一个语句，它说“我们有一个布尔公式，使得对其变量的每个真值赋值都满足它”。我们将这样写这个语句

理解表示 ∃x ∀y 的语句和表示 ∀x ∃y 的语句之间的区别非常重要。例如，假设我们正在谈论实数。在这种情况下，我们上面的例子 ∀x ∃y : y > x 是真的。但如果我们将量词以其他顺序写入：∃y ∀x : y > x，它将是假的。此版本需要一个必须比每个数都大的单个数字。

否定嵌套量词

在嵌套量词中，我们可以借助翻转序列中的每个量词来否定序列，之后，我们将像这样否定谓词

当我们思考时，我们会意识到它在直观上是有意义的。例如：在这里，我们将考虑微积分中无界序列的定义。如果存在具有无限序列 a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ ≤ … 的实数，那么如果它最终对于每个数字 x 都变得大于 x，则它是无界的。这里已经看到了潜伏的量词：∀x ∃n : a_n > x。

现在有一些无界序列，例如 1, 4, 9, 16, 25, …，也有一些不是无界的序列，例如 1/2, 3/4, 7/8, …… 如果一个序列无界，这意味着它包含一个上限 x，使得序列中的每个数至多为 x。

如果我们要从数学上推导这个，我们可以通过否定无界性的定义来做到这一点。如果无界的语句是 ∀x ∃n : an > x，那么无界的语句将是 ∃x ∀n : an ≤ x。这意味着通过翻转量词，我们可以将无界转换为非无界。

标准英语用法中的量词

当我们注意到时，我们会发现量词和标准英语用法是相互熟悉的。例如：如果有人说，“美国的所有人都有工作”，我们可能会回答说“我知道美国有人没有工作”。至少在潜意识里，我们通过将其写成

如果我们想不同意这个说法，我们必须通过将 ∃ 翻转为 ∀ 来否定上面的说法。之后，谓词将像这样被否定：“∃x 在英国，x 没有工作”。请注意，在执行此操作时，我们必须注意用于量化 x 的集合。该集合是美国的所有人。

我们可以通过将 ∃ 翻转为 ∀ 来反转同样的事情。如果有人说，“印度有一位年收入超过 50 亿卢比的板球运动员”，我们可以通过说“不，每个板球运动员的年收入都低于 50 亿卢比”来不同意这个说法。