多项式定理

多项式定理用于展开两个或两个以上项的总和的幂。多项式定理主要用于将二项式定理推广到项数任意的多项式。单项式的加权和可以表示为 (x₁ + x₂ + x₃+ ….. + x_k)ⁿ 的形式 x₁^b1, x₂^b2, x₃^b3 ….. x_k^bk。其中，二项式系数的推广，称为多项式系数，用于提供权重。相应多项式级数可以通过多项式分布出现，多项式分布可以描述为二项式分布的推广。借助此定理，我们可以描述展开多项式幂的结果。

为了展开一个表达式，多项式定理提供了一个公式，描述如下：

(x₁ + x₂ +⋯+ x_k)ⁿ 对于整数 n

我们可以按以下方式展开此公式：

其中

n = n1 + n2 + n3 + …. + nk 并且 n! 用于描述 1*2*3* …. *n 的阶乘符号。

系数

在代数中，我们首先要学习如何阅读代数方程。代数结构中包含许多项，它们可以相加或相减。在代数中，每一项都由变量和系数两部分组成。

在统计学中，有一种不同的系数，称为多项式系数。现在我们将学习多项式系数在统计学中的应用。

多项式系数

多项式系数利用多项式级数并由此得名。该级数被提高到n次幂，描述如下：

(x₁ + x₂ + x₃ + ….. + x_k)ⁿ

在上面的级数中，x 用于描述项。k 用于描述级中存在的元素数量。n 用于描述级数被提高到的正整数幂。多项式定理描述了这种级数是如何展开的，描述如下：

在多项式定理中，求和是在 n₁, n₂, n₃, … , n_k 上进行的，其中 n₁ + n₂ + n₃ + ….. + n_k = n。

多项式系数用于提供多项式系数的总和，该总和乘以变量。它用于表示展开的级数，并且该级数中的每个项都包含其关联的多项式系数。用阶乘表示，多项式系数本身将表示为，描述如下：

多项式定理示例

示例 1

在此示例中，我们将像下面这样展开 (x + y + z)³：

(x + y + z)3 = (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z)
            = x3 + y3 + z3
            + 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3xz2 + 3y2z + 3yz2
            + 6xyz

示例 2

在此示例中，我们将描述多项式定理如何适用于三项式。为此，我们将假设 (x + y + z)⁴。如果我们使用暴力方法展开此表达式，则将如下所示：

现在我们将应用分配律。之后，我们将通过合并同类项来简化。在合并同类项之前，此表达式有 81 项，在分配后。81 项的原因是第一对括号中的每一项都将乘以第二对括号中的每一项，这将为我们提供 9 项。现在，每一项，即 9 项，都将乘以第三对括号中的每一项，这将为我们提供 27 项。最后，每一项，即 27 项，都将乘以第四对括号中的每一项，这将为我们提供 81 项。在简化之前，许多项看起来不同，但当我们简化它时，它将看起来相同。

例如：假设我们有四项 xyyy、yxyy、yyxy 和 yyyx。在这些项中，x 来自第一个、第二个、第三个或第四个括号中的任何一个。当我们简化这些项时，它们将被合并并提供 4xy³。

(x + y + z)4 = (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z)
            = x4 + y4 + z4
            + 4xy3 + 4xz3 + 4x3y + 4x3z + 4yz3 + 4y3z
            + 12 xyz2 + 12 xy2z + 12 x2yz
            + 6x2y2 + 6x2z2 + 6y2z2

在上面的展开中，我们可以看到我们总共有 15 个不同的项，并且每个项的度为 4。系数加起来是 3⁴ = 81。

现在，我们将使用这些步骤来构建此展开并像这样推导出多项式定理：

步骤 1：我们将使用三个嵌套求和来开始这个：

我们在此过程中遇到的问题是，三重求和会生成 5*5*5 = 125 个不同次数的项，描述了从 x⁰y⁰z⁰ 到 x⁴y⁴z⁴ 的范围。

步骤 2：现在，我们将添加一个过滤器因子，它对于不需要的项等于 0，对于需要的项等于 1。这称为克罗内克 delta 函数，用 δ_{i, j} 表示。其定义语法如下：

现在，我们将修改此求和以如下方式读取：

上面的求和只包含 15 个需要的项，其度为 4。现在我们有一个问题，即每个系数都等于 1。

步骤 3：现在，我们将构建正确的系数。这个系数将被称为多项式系数，如下所示：

上面这个多项式系数将提供将 4 个不同的对象存入 3 个不同的组的方法。对象 i 将存入第一组。对象 j 将存入第二组，对象 k 将存入第三组。我们以什么顺序存放它们并不重要。

例如：在项 x¹y¹z² 的系数中，使用 i = 1，j = 1，k = 2，这将等于：

使用上面的系数，展开式将如下所示：

对于 n 次幂

上面的四个项可以推广到三项式的 n 次幂。为此，我们需要将所有 4 替换为 n。

这就是三项式多项式定理。我们可以轻松地将 n 次项推广到任意数量的项。例如：对于四项，多项式定理将如下所示：