离散数学中的长方形矩阵

2025年3月17日 | 阅读 7 分钟

如果一个矩阵呈长方形形状，那么它就被称为长方形矩阵。我们已经知道，矩阵中的元素是以行和列的形式排列的。当行数和列数不相等时，矩阵就被称为长方形矩阵。在本节中，我们将学习长方形矩阵的定义、示例、性质和运算。

什么是长方形矩阵？

当行数和列数不相等时，该矩阵就是长方形矩阵。长方形矩阵是矩阵的一种。在几何学中，长方形用来表示一个四边形，其长和宽不相等。同样，在离散数学中，长方形矩阵的行数和列数不相等。正因如此，它被称为“长方形”。下图中是一个m*n阶的长方形矩阵，其中m表示行数，n表示列数。

长方形矩阵有很多例子，其中一些如下所述。

[6 3 8 2]

在上述所有长方形矩阵的例子中，行数和列数都不相等。

在任何矩阵中，当行数和列数不相等时，我们才能得到长方形。如果行数用m表示，列数用n表示，那么当m ≠ n时，我们就得到一个长方形矩阵。

因此，我们可以通过两种情况形成长方形矩阵。第一种是“行数大于列数（m > n）”，第二种是“行数小于列数（m > n）”。换句话说，

长方形矩阵有两种类型，如下所述：

现在我们将展示每种类型长方形矩阵的一些示例。这些示例用于包含长方形矩阵。在每个矩阵中，我们可以看到行数和列数不相等。

具有行数小于列数的长方形矩阵的示例如下：

在这个例子中，我们可以看到有2行4列。所以行数和列数不相等（2 ≠ 4），但我们可以看到行数小于列数（2 < 4）。因此，我们能够在这个矩阵中形成长方形。所以，这是形成长方形的主要原因。因此，我们可以说这个矩阵是一个长方形矩阵。

具有行数大于列数的长方形矩阵的示例如下：

在这个例子中，我们可以看到有4行2列。所以行数和列数不相等（4 ≠ 2），但我们可以看到行数大于列数（4 > 2）。因此，我们能够在这个矩阵中形成长方形。所以，这是形成长方形的真正原因。因此，我们可以说这个矩阵是一个长方形矩阵。

我们不能对长方形矩阵执行所有类型的矩阵运算。我们只能在一些限制条件下对长方形矩阵执行某些运算。这些运算如下所述：

只有当给定矩阵的阶相同时，我们才能执行长方形矩阵的加法和减法。这些运算可以对两个或两个以上的矩阵进行。长方形矩阵加法和减法的示例如下：

在上面的例子中，我们可以看到第一个矩阵的阶是2*3，第二个矩阵的阶是2*4。所以这些矩阵的阶不相同。因此，这些矩阵的加法不可能进行。

在上面的例子中，我们可以看到第一个矩阵和第二个矩阵的阶都是2*3。所以这些矩阵的阶相同。因此，我们可以进行这些矩阵的减法。

只有当满足矩阵乘法的条件时，我们才能执行两个长方形矩阵A和B的乘法，即A的列数必须与B的行数相等。换句话说，当A的阶为m*n，B的阶为n*p时，矩阵A和B的乘法才可能。在这种情况下，两个长方形矩阵A和B的乘积的阶为m*p。长方形矩阵乘法运算的示例如下：

在上面的例子中，我们可以看到第一个矩阵的列数是3，第二个矩阵的行数是2，它们不相等。因此，这些矩阵的乘法不可能进行。

在上面的例子中，我们可以看到第一个矩阵的列数是2，第二个矩阵的行数是2，它们相等。因此，这些矩阵的乘法是可能的。

在这个例子中，第一个矩阵的阶是3*1，第二个矩阵的阶是1*3。所以这两个矩阵的乘积的阶是3*3，这是一个方阵。

当我们把行写成列，把列写成行时，我们就能得到矩阵的转置。假设我们有一个m*n阶的长方形矩阵，那么它的转置矩阵的阶也是n*m，仍然是长方形矩阵。

例如：设有一个长方形矩阵A，如下所示：

该矩阵的转置描述如下：

所以我们可以说，长方形矩阵与其转置矩阵永远不相等。因此，它永远不会是对称的。

根据长方形矩阵的定义，我们可以描述长方形矩阵的一些性质，如下所示：

对于长方形矩阵，行数与列数不相等。因此，我们可以用两个不同的数字来表示长方形矩阵的阶。
如果我们有一个包含多个元素的行矩阵或列矩阵，我们总会得到一个长方形矩阵。例如：假设我们有一个行矩阵 [3 5 6]，其阶为1*3。这个矩阵包含多个元素。因此，它是一个长方形矩阵。
在长方形矩阵中，我们不能定义行列式。因此，我们不能将奇异矩阵和非奇异矩阵的概念应用于长方形矩阵。
在长方形矩阵中，不存在伴随矩阵。
在长方形矩阵中，我们无法定义行列式和伴随矩阵，因此我们无法计算长方形矩阵的逆。
长方形矩阵不是对称矩阵，因为长方形矩阵及其转置矩阵不相等。例如：如果我们有一个2*3阶的长方形矩阵，那么它的转置矩阵将是3*2阶，它们不相等。
只有当两个给定长方形矩阵的阶相同时，我们才能对这些矩阵进行加法和减法。
只有当A的列数与B的行数相等时，我们才能对两个长方形矩阵A和B进行乘法。
长方形矩阵不包含特征值。因此，它也不包含特征向量。
两个长方形矩阵的乘积不一定是长方形矩阵。
标量矩阵、奇异矩阵、单位矩阵、正交矩阵、对称矩阵、对角矩阵等永远不是长方形矩阵。