离散数学中的矩阵阶

我们可以借助矩阵的阶数来表示任意矩阵的行数和列数。矩阵可以描述为按行和列排列的元素数组。借助矩阵的阶数，我们将能够获取给定矩阵中行和列的数量。矩阵的阶数也称为矩阵的维度。它以行数乘以列数的形式表示，我们可以将矩阵的阶数读作“行数乘以列数”。当我们乘以任意矩阵的行数和列数时，我们将能够得到该矩阵的元素数量。

此外，我们可以借助矩阵的阶数来获取矩阵的类型。它还可以为我们提供任何矩阵中存在的元素总数。矩阵的元素以 m 行 n 列的形式排列。我们将能够借助矩阵的阶数来决定是否对两个矩阵执行特定的算术运算。它用于了解不同类型的矩阵。我们还可以学习对这些矩阵执行的不同类型的算术运算。

在本节中，我们将学习矩阵的阶数、基于矩阵阶数的矩阵类型、不同的矩阵运算、矩阵阶数的示例以及更多内容。

什么是矩阵的阶数

我们将借助矩阵的阶数来获取矩阵的维度。矩阵的维度用于显示矩阵中的行数和列数。符号 A_m*n 用于表示矩阵的阶数。其中 m 用于表示矩阵 A 中的行数，n 用于表示矩阵 A 中的列数。在任何矩阵中，我们还将通过乘以矩阵阶数的结果 (m*n) 来获取元素数量。

如果存在矩阵的阶数，则阶数的第一个数字将始终用于表示行，而阶数的第二个数字将用于表示列。在此图像中，我们可以看到行数为 m，列数为 n。

基于阶数的矩阵示例

这里我们将展示一些具有不同阶数和给定矩阵中元素总数的矩阵，具体如下所述

示例 1：在此示例中，我们将展示一个阶数为 1*1 的矩阵，即

A = [-6]

在此矩阵中，我们可以看到矩阵 A 中有 1 行 1 列。我们可以将此矩阵读作“一乘一”矩阵。因此，矩阵 A 将被称为 1*1 阶矩阵。

在上述矩阵 A 中，元素总数 = 1*1 = 1。

示例 2：在此示例中，我们将展示一个阶数为 1*3 的矩阵，具体如下所述

B = [2 6 7]

在此矩阵中，我们可以看到矩阵 B 中有 1 行 3 列。我们可以将此矩阵读作“一乘三”矩阵。因此，矩阵 B 将被称为 1*3 阶矩阵。在上述矩阵 B 中，元素总数 = 1*3 = 3。

示例 3：在此示例中，我们将展示一个阶数为 2*2 的矩阵，具体如下所述

在此矩阵中，我们可以看到矩阵 C 中有 2 行 2 列。因此，矩阵 C 将被称为 2*2 阶矩阵。我们可以将此矩阵读作“二乘二”矩阵。我们可以简单地称之为 2 阶矩阵。

在上述矩阵 C 中，元素总数 = 2*2 = 4。

示例 4：在此示例中，我们将展示一个阶数为 3*4 的矩阵，具体如下所述

在此矩阵中，我们可以看到矩阵 B 中有 3 行 4 列。我们可以将此矩阵读作“三乘四”矩阵。因此，矩阵 B 将被称为 3*4 阶矩阵。

在上述矩阵 B 中，元素总数 = 3*4 = 12。

基于矩阵阶数的矩阵类型

我们可以借助矩阵的阶数来获取矩阵的维度。有不同类型的矩阵，我们可以找到这些矩阵的阶数。一些不同类型的矩阵及其阶数描述如下

行矩阵的阶数：如果一个矩阵包含一行和多列，则该矩阵将被称为行矩阵。因此，我们可以说该矩阵的阶数将采用 1*n 的形式。

列矩阵的阶数：列矩阵用于包含一列和多行。因此，我们可以说该矩阵的阶数将采用 n*1 的形式。

方阵的阶数：如果一个矩阵的行数和列数相同，我们可以称之为方阵。因此，我们可以说该矩阵的阶数将采用 n*n 的形式。在下图所示的矩阵中，有 3 行 3 列。因此，该矩阵是一个方阵。

矩形矩阵的阶数：如果一个矩阵的行数和列数不相同，我们可以称之为矩形矩阵。因此，我们可以说该矩阵的阶数将采用 m*n 的形式。在下图所示的矩阵中，有 2 行 3 列。因此，该矩阵是一个矩形矩阵。

转置矩阵的阶数：如果我们将行的元素互换为列，同样地，将列的元素互换为行，则该矩阵将被称为转置矩阵。如果我们有一个阶数为 m*n 的矩阵，那么其转置矩阵的阶数将为 n*m。在下面的图像中，我们有一个包含 2 行 3 列的矩阵。因此，以下矩阵的转置将包含 3 行 2 列。因此，此转置矩阵的阶数为 3*2。

不同矩阵运算的矩阵阶数

矩阵的阶数取决于矩阵的类型。矩阵的许多运算也基于矩阵的阶数。现在我们将看到矩阵的一些运算，我们将根据矩阵的阶数来执行它们。这些运算描述如下

矩阵的加法和减法：如果我们想对两个矩阵执行加法或减法运算，则两个矩阵必须具有相同的阶数。这意味着这些矩阵中的行数和列数必须彼此相似。现在我们将使用一个示例来理解矩阵加法的概念

在此示例中，我们可以看到矩阵 A 的阶数为 2*3，矩阵 B 的阶数为 2*3。这意味着两个矩阵具有相同的阶数。我们将矩阵 A 和矩阵 B 的相应元素相加，并得到一个具有相同阶数 2*3 的结果矩阵。

矩阵的乘法：在矩阵阶数的情况下，在矩阵相乘时必须满足一个特殊条件。根据该条件，第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数必须彼此相似。矩阵乘法结果矩阵的阶数必须具有与第一个矩阵相同的行数和与第二个矩阵相同的列数。矩阵乘法的示例描述如下

在此示例中，我们有两个矩阵，其中第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数彼此相似，即 3。借助矩阵乘法规则，我们将得到一个阶数为 2*2 的结果矩阵（因为第一个矩阵的行数为 2，第二个矩阵的列数为 2）。

关于矩阵阶数的重要说明

当我们学习矩阵的阶数时，我们应该知道一些要点，描述如下

• 假设有一个阶数为 m*n 的矩阵。这里，第一个数字 m 将始终用于表示行数，另一个数字 n 将用于表示列数。
• 如果我们想对两个矩阵进行加法或减法，为此，这些矩阵的阶数必须彼此相似。
• 如果我们想对两个矩阵进行乘法，在这种情况下，第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数必须彼此相似。
• 当我们对两个矩阵进行乘法时，我们将得到一个结果矩阵，其阶数的行数与第一个矩阵相似，列数与第二个矩阵相似。

矩阵阶数的示例

矩阵阶数有各种示例，其中一些描述如下

示例 1：在此示例中，我们有一个阶数为 4*3 的矩阵。现在我们必须确定可以与此矩阵相乘的矩阵的阶数。我们还必须找到乘法后结果矩阵的阶数。

解决方案：正如我们所知，我们有一个阶数为 4*3 的矩阵。因此，我们将此矩阵表示为 A_4*3。我们还将考虑另一个矩阵 B，我们将此矩阵乘以矩阵 A。

如果我们想对两个矩阵执行矩阵乘法，则第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数必须彼此相似。在矩阵 A 中，我们有 3 列。因此，在矩阵 B 中，我们将有 3 行。假设矩阵 B 的阶数为 3*2。那么

A_4*3 * B_3*2 = C_4*2

正如我们所看到的，我们得到 C 作为矩阵 A 和 B 乘法的结果。矩阵 C 具有第一个矩阵的行数和第二个矩阵的列数。

答案：因此，第二个矩阵的阶数可以是 3*2，结果矩阵的阶数可以是 4*2。

示例 2：在此示例中，我们有两个阶数为 2*4 和 4*3 的矩阵。这里我们必须确定通过这些矩阵相乘得到的结果矩阵的阶数。

解决方案：正如我们所知，这两个矩阵是 2*4 和 4*3。因此，我们将这些矩阵假设为 A 和 B。

这些矩阵满足矩阵乘法的第一个条件，该条件表示第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数彼此相似。

此外，结果矩阵的阶数必须具有第一个矩阵的行数和第二个矩阵的列数。因此，结果矩阵的阶数将为 2*3。两个矩阵及其阶数的乘法描述如下

A_2*4 * B_4*3 = C_2*3

答案：因此，结果矩阵的阶数将为 2*3。

示例 3：在此示例中，我们有两个矩阵 A 和 B，其中 A 的阶数为 3*4，B 的阶数为 4*3。现在我们必须检查是否可以添加所有这些矩阵。

解决方案：正如我们所知，当且仅当两个矩阵的阶数相同时，我们才能添加它们。

但是矩阵 A 的阶数为 3*4，矩阵 B 的阶数为 4*3，它们不相等。因此，无法添加矩阵 A 和 B。

答案：A+B 不可能。