特解

(a) 齐次线性差分方程和特解

当差分方程是齐次线性类型时，我们可以通过将初始条件的值代入齐次解来找到特解。

例1：解差分方程 2a_r-5a_r-1+2a_r-2=0 并找到满足 a₀=0 和 a₁=1 的特解。

解：特征方程是 2s²-5s+2=0
(2s-1)(s-2)=0
s = 和 2。

因此，方程的齐次解由下式给出

a_r(h)= C₁+C₂ .2^r..........方程 (i)

将 r=0 和 r=1 代入方程 (i)，我们得到
      a₀=C₁+C₂=0...........方程 (a)
      a₁= C₁+2C₂=1...........方程 (b)

解方程 (a) 和 (b)，我们得到
C₁=- 和 C₂=

因此，特解是

例2：解差分方程 a_r-4a_r-1+4a_r-2=0 并找到满足 a₀=0 和 a₁=6 的特解。

解：特征方程是
            s²-4s+4=0 或 (s-2)²=0             s = 2, 2

因此，方程的齐次解由下式给出
            a_r(n)=(C₁+C₂ r).2^r.............. 方程 (i)

将 r = 0 和 r = 1 代入方程 (i)，我们得到
            a₀=(C₁+0).2⁰ = 1          ∴C₁=1
            a₁=(C₁+C₂).2=6          ∴C₁+C₂=3⇒C₂=2

因此，特解是
            a_r(P)=(1+2r).2^r。

例3：解差分方程 9a_r-6a_r-1+a_r-2=0，满足条件 a₀=0 和 a₁=2。

解：特征方程是

因此，方程的齐次解由下式给出
            a_r(h)=(C₁+C₂ r). ..........方程 (i)

将 r = 0 和 r = 1 代入方程 (i)，我们得到
            a₀=C_1=0
            a₁= (C₁+C₂).=2。           ∴C₁+C₂=6⇒C₂=6

因此，特解是
            a_r(P)=6r.。

(b) 非齐次线性差分方程和特解

有两种方法可以找到非齐次线性差分方程的特解。它们如下：

1. 待定系数法
2. E 和 Δ 算子法。

1. 待定系数法：该方法用于寻找右侧项 R (n) 包含特殊形式项的非齐次线性差分方程的特解。

在该方法中，我们首先根据 R (n) 的类型假设特解的一般形式，其中包含一些待定的未知常数系数。然后根据差分方程，我们将确定精确解。

下表显示了为 R (n) 的特殊形式假定的特解的一般形式，以找到精确解。

例1：求差分方程 a_r+2-3a_r+1+2a_r=Z^r ........方程 (i) 的特解

其中 Z 是某个常数。

解：解的一般形式为 = A. Z^r

现在将此解代入方程 (i) 的左侧，我们得到
            = A Z^r+2-3AZ^r+1+2AZ^r=(Z²-3Z+2) A Z^r.........方程 (ii)

将方程 (ii) 与方程 (i) 的右侧等同，我们得到
            (Z²-3Z+2)A=1
            A =(Z≠1, Z≠2)

因此，特解是

例2：求差分方程 a_r+2-5a_r+1+6a_r=5^r .............方程 (i) 的特解

解：让我们假设解的一般形式 = A. 5^r。

现在为了找到 A 的值，将此解代入方程 (i) 的左侧，然后它变为
            = A. 5^r+2-5.A5^r+1+6.A5^r
            = 25A. 5^r-25A.5^r+6A.5^r
            = 6A.5^r ............方程 (ii)

将方程 (ii) 等同于方程 (i) 的右侧，我们得到
            A =

因此，差分方程的特解是 =.5^r。

例3：求差分方程 a_{r+ 2}+a_r+1+a_r=r.2^r..........方程 (i) 的特解

解：让我们假设解的一般形式 = (A₀+A₁r). 2^r

现在，将这些解代入方程 (i) 的左侧，我们得到
            = 2^r+2 [A₀+A₁ (r+2)]+2^r+1 [A₀+A₁ (r+1)]+2^r (A₀+A₁ r)
            = 4. 2^r (A₀+A₁ r+2A₁ )+2.2^r (A₀+A₁ r+A₁ )+2^r (A₀+A₁ r)
            = r. 2^r (7A₁ )+2^r (7A₀+10A₁)............方程 (ii)

将方程 (ii) 与方程 (i) 的右侧等同，我们得到
            7A₁=1             ∴ A₁=
            7A₀+10A₁=0         ∴ A₀=

因此，特解是

2. E 和 ∆ 算子法

算子 E 的定义：E 对 f(x) 的操作意味着给函数中 x 的值增加一个增量。E 的操作是，在函数中凡是 x 的地方都代入 (x+h)。这里 h 是增量。所以 Ef(x) = f(x+h)

这里，E 作用于 f(x)，因此，E 是一个符号，称为平移算子。

算子 ∆ 的定义：∆ 的操作是两步操作。

首先，函数中的 x 增加一个常数，然后从后者中减去前者，即，
            ∆f(x)=f(x+h)-f(x)

定理1：证明 E ≅1+∆。

证明：∆ 对 f(x) 的操作分两步。首先，增加函数中 x 的值。因此，凡是 f(x) 中有 x 的地方，都代入 x+h（这里 h 是常数增量），这意味着 E 对 f(x) 的操作，即，
            f (x+h)=Ef(x)。

其次，从第一步获得的值中减去原始函数，因此
            ∆f(x)=Ef(x)-1f(x)=(E-1)f(x)

因此，∆ 对 f(x) 的操作等同于 (E-1) 对 f(x) 的操作。

因此，我们有
            E ≅1+∆。

定理2：证明 Eⁿ f(x)=f(x+nh)。

证明：我们知道 E f(x) =f (x+h)

现在       Eⁿ f(x)=E.E.E.E.........n 次 f(x)
        = E^n-1 [E f(x)] = E^n-1 f(x+h)
        = E^n-2 [E f(x+h)] = E^n-2 f(x+2h)
        ......................
        ......................
      = E f[x+ (n-1) h] = f(x+nh)。

定理3：证明 E Cf(x) = CE f(x)

证明：我们知道 E C f(x) = C f(x+h) = CE f(x+h)。证毕。

E 算子对任何常数都没有影响。因此，E 算子对任何常数的操作都等于常数本身。

通过 E 和 ∆ 算子法，我们将找到以下方程的解
            C₀ y_n+r+C₁ y_n+r-1+C₂ y_n+r-2+⋯+C_n y_n=R (n)..............方程 (i)

方程 (i) 可以写成
        C₀ E^r y_n+C₁ E^r-1 y_n+C₂ E^r-2 y_n+⋯+C_n y_n=R (n)
        (C₀ E^r+C₁ E^r-1+C₂ E^r-2+⋯+C_n) y_n=R (n)
设 C₀ E^r+C₁ E^r-1+C₂ E^r-2+⋯+C_n=P(E)

所以     P (E) y_n=R (n)
        ∴     y_n=................方程 (ii)

为了找到 (ii) 对于 R (n) 不同形式的特解，我们有以下几种情况。

情况1：当 R (n) 是某个常数 A 时。

我们知道，E 对任何常数的操作都等于常数本身，即，
            EA=A
因此，     P (E) A = (C₀ E^r+C₁ E^r-1+C₂ E^r-2+⋯+C_n)A
            = (C₀+C₁+C₂+⋯+C_n)A
            = P (1) A
           
因此，使用方程 (ii)，(i) 的特解是
            y_n=，P(1)≠0

P (1) 是通过将 E = 1 代入 P (E) 得到的。

情况2：当 R (n) 形式为 A. Zⁿ 时，其中 A 和 Z 是常数

我们有，     P (E) (A. Zⁿ)={C₀ E^r+C₁ E^r-1+⋯+ C_n} (A.Zⁿ)
                                          =A{C₀ Z^r+n+C₁ Z^r+n-1+⋯+C_n Zⁿ}
                                          = A{C₀ Z^r+C₁ Z^r-1+⋯+C_n }. Zⁿ
                                          =AP(Z).Zⁿ

要得到 P (Z)，将 E=Z 代入 P (E)

因此， ，前提是 P (Z) ≠ 0

因此，       y_n=，P (Z) ≠ 0

如果 A = 1，那么    y_n=

当 P (Z) = 0 时，对于方程

          (i) (E-Z) y_n= A. Zⁿ

为此，特解变为 A. Zⁿ=A. n Zⁿ-1

          (ii) (E-Z)² y_n= A. Zⁿ

为此，特解变为

          (iii) (E-Z)³ y_n= A. Zⁿ

为此，特解变为，依此类推。

情况3：当 R (n) 是 n 的 m 次多项式时。

我们知道 E≅1+∆
所以，       P (E) =P (1+∆)

它可以展开为 ∆ 的升幂，直到 ∆^m

⇒       =(b₀+b₁ ∆+b₂ ∆+⋯.+b_m ∆^m+⋯)
⇒ .R(n)=( b₀+b₁ ∆+b₂ ∆+⋯.+b_m ∆^m+⋯).R(n)
            = b_{0 R(n)+b1 ∆ R(n)+⋯+bm ∆^m R(n)}

所有其他高阶项都将为零，因为 R (n) 是 m 次多项式。

因此，方程 (i) 在这种情况下的特解将是

            y_n=b₀ R(n)+b₁ ∆ R(n)+⋯.+b_m ∆^m R(n)。

情况4：当 R (n) 的形式为 R(n).Zⁿ 时，其中 R(n) 是 m 次多项式，Z 是某个常数

我们有         E^r[Zⁿ R(n)]=Z^r+n R (n+r)=Z^r.Zⁿ.E^r.R(n)=Zⁿ (ZE)^rR(n)

同样，我们有
[Zⁿ R(n)]=Zⁿ .(R(n))= Zⁿ [P(Z+Z∆)]^-1.R(n)

因此，方程 (i) 在这种情况下的特解将是
            y_n=Zⁿ [P(Z+Z∆)]^-1.R(n)

例1：求差分方程的特解
            2a_r+1-a_r=12。

解：上述方程可以写成
            (2E-1) a_r=12

特解由下式给出
            a_r=.12

将 E=1 代入方程。特解是 a_r=12

例2：求差分方程 a_r-4a_r-1+4a_r-2=2^r 的特解。

解：上述方程可以写成
           (E²-4E+4) a_r=2^r

因此，       P (E) = E²-4E+4 = (E-2)²

因此，特解由下式给出