偏序集

考虑集合 S 上的一个关系 R，它满足以下性质：

1. R 是自反的，即对于每个 x ∈ S，都有 xRx。
2. R 是反对称的，即如果 xRy 且 yRx，那么 x = y。
3. R 是传递的，即如果 xRy 且 yRz，那么 xRz。

那么 R 称为偏序关系，而集合 S 连同偏序关系一起被称为偏序集或 POSET，并用 (S, ≤) 表示。

示例

1. 自然数集合 N 在关系 '≤' 下形成一个偏序集，因为首先 x ≤ x，其次，如果 x ≤ y 且 y ≤ x，那么我们有 x = y，最后，如果 x ≤ y 且 y ≤ z，则对于所有 x, y, z ∈ N，都有 x ≤ z。
2. 自然数集合 N 在整除关系下，即 'x 整除 y' 形成一个偏序集，因为对于每个 x ∈ N，都有 x/x。 同样，如果 x/y 且 y/x，我们有 x = y。 再次，如果 x/y，y/z，我们有 x/z，对于每个 x, y, z ∈ N。
3. 考虑集合 S = {1, 2}，S 的幂集是 P(S)。 集合包含关系 ⊆ 是一个偏序。 因为，对于 P(S) 中的任何集合 A、B、C，首先我们有 A ⊆ A，其次，如果 A ⊆ B 且 B ⊆ A，那么我们有 A = B。 最后，如果 A ⊆ B 且 B ⊆ C，则 A ⊆ C。 因此，(P(S), ⊆) 是一个偏序集。

偏序集的元素

1. 极大元： 元素 a ∈ A 称为 A 的极大元，如果 A 中没有元素 c 使得 a ≤ c。
2. 极小元： 元素 b ∈ A 称为 A 的极小元，如果 A 中没有元素 c 使得 c ≤ b。

注意：可以有多个极大元或多个极小元。

示例： 确定其 Hasse 图如图所示的偏序集的所有极大元和极小元

解： 极大元是 b 和 f。

极小元是 d 和 e。

可比元素

考虑一个有序集合 A。 如果集合 A 的两个元素 a 和 b 满足以下条件，则称为可比：

          a ≤ b           或           b ≤ a
             R                               R

不可比元素

考虑一个有序集合 A。 如果集合 A 的两个元素 a 和 b 既不满足 a ≤ b 也不满足 b ≤ a，则称为不可比。

示例： 考虑 A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}，它按整除关系排序。 确定 A 的所有可比和不可比的元素对。

解： A 的可比元素对为
              {1, 2}, {1, 3}, {1, 5}, {1, 6}, {1, 10}, {1, 15}, {1, 30}
              {2, 6}, {2, 10}, {2, 30}
              {3, 6}, {3, 15}, {3, 30}
              {5, 10}, {5, 15}, {5, 30}
              {6, 30}, {10, 30}, {15, 30}

A 的不可比元素对为
              {2, 3}, {2, 5}, {2, 15}
              {3, 5}, {3, 10}, {5, 6}, {6, 10}, {6, 15}, {10, 15}

线性有序集

考虑一个有序集合 A。 如果 A 中每对元素都是可比的，则称集合 A 为线性有序集或完全有序集。

示例： 正整数集合 I+ 及其通常的顺序 ≤ 是一个线性有序集。