范式

规范形式有两种类型

1. 析取范式或积之和或 (SOP)。
2. 合取范式或和之积或 (POS)。

析取范式或积之和或 (SOP)

如果一个布尔表达式在 ({0, 1}, ∨,∧,') 上是最小项的并集，则称其为析取范式

示例: (x₁'∧x₂'∧x₃')∨( x₁'∧x₂∧x₃' )∨(x₁∧x₂∧x₃) 是析取范式中的一个布尔表达式。

因为有三个最小项 x₁'∧x₂'∧x₃'，x₁'∧x₂∧x₃ 和 x₁∧x₂∧x₃。

最大项: 如果一个布尔表达式 n 个变量 x₁,x₂,....x_n 的形式为 x₁∨x₂∨..........∨x_n，则称其为最大项

其中 x_i 用于表示 x_i 或 x_i'。

合取范式或和之积或 (POS)

如果一个布尔表达式在 ({0, 1}, ∨,∧,') 上是最大项的交集，则称其为析取范式

示例

        (x₁∨x₂∨x₃)∧( x₁∨x₂∨x₃ )∧(x₁∨x₂∨x₃ )∧(x₁'∨x₂∨x₃' )∧(x₁'∧x₂'∧x₃)

是合取范式中的一个布尔表达式，由五个最大项组成。

获得析取范式

考虑一个从 {0, 1}ⁿ 到 {0, 1} 的函数。 可以通过为每个函数值为 1 的 0 和 1 的有序 n 元组分配一个最小项，从而获得与此函数对应的析取范式中的布尔表达式。

获得合取范式

考虑一个从 {0, 1}ⁿ 到 {0, 1} 的函数。 可以通过为每个函数值为 0 的 0 和 1 的有序 n 元组分配一个最大项，从而获得与此函数对应的合取范式中的布尔表达式。

示例: 在以下函数中表达

1. 析取范式
2. 合取范式

解决方案

1. (x₁'∧ x₂' ∧ x₃') ∨(x₁'∧x₂∧ x₃' )∨(x₁∧x₂'∧x₃ )∨(x₁∧x₂∧x₃)
2. (x₁'∨x₂'∨x₃')∧( x₁'∨x₂∨x₃ )∧(x₁∨x₂'∨x₃' )∧(x₁∨x₂∨x₃')

对偶性原理

任何表达式 E 的对偶表达式都是通过交换运算 + 和 *，以及在原始表达式 E 中交换相应的恒等元素 0 和 1 来获得的。

示例: 写出以下布尔表达式的对偶表达式

1. (x₁*x₂) + (x₁*x₃')         2. (1+x₂)*( x₁+1)
3. (a ∧(b∧c))

解决方案

1. ( x₁+x₂)*( x₁+x₃')         2. (0*x₂)+( x₁*0)
3. (a ∨(b∧c))

注意：布尔代数中任何定理的对偶定理也是一个定理。