概率论中的独立事件

独立事件是指事件的发生与否不依赖于彼此。这意味着一个事件的发生或失败不会影响另一个事件的发生或失败。

例如：

抛掷骰子

骰子有6个面，每个面标有1到6的数字。单次抛掷骰子可以得到1、2、3、4、5、6这六个数字中的任意一个结果。每次抛掷都可以得到一个结果。

让我们考虑两个结果。第一个结果是出现数字2，第二个结果是出现数字5。在这两种情况下，每次抛掷的结果是相互独立的。这是概率论中独立事件的一种类型。

什么是依赖事件？

如果一个事件的发生受到另一个事件发生的影响，那么它就被称为依赖事件。如果事件 A 和事件 B 是依赖事件，即 A 的发生依赖于 B 的发生，那么 P (AB) 的概率由下式给出：

P (AB) 或 P(A∩B) = P (A) P(B/A)

其中，

P(B/A) 是在 A 已经发生的情况下 B 发生的条件概率。

P (AB) 或 P(A∩B) 是通过两次试验，事件 A 和事件 B 同时发生的概率。

独立事件公式

如果事件 A 和事件 B 是**独立**事件，即 A 的发生不依赖于 B 的发生，那么 P (AB) 的概率由下式给出：

P (AB) 或 P(A∩B) = P (A) P(B)

其中，

P(B/A) = P(B)

这是因为 A 和 B 是两个独立事件。

事件发生的概率 = P

事件失败的概率 = (1 - P)

设 P₁ 和 P₂ 为两个独立事件的概率

两个事件都发生的概率 = P₁ P₂

两个事件都失败的概率 = (1 - P₁) (1 - P₂)

第一个事件发生而第二个事件失败的概率 = P₁(1 - P₂)

第一个事件失败而第二个事件发生的概率 = (1 - P₁) P₂

至少一个事件发生的概率

1 - (两个事件都失败的概率)

1 - ((1 - P₁) (1 - P₂))

这也称为累积概率

类似地，对于 n 个独立事件，至少一个事件发生的概率是：

1 - ((1 - P₁) (1 - P₂) (1 - P₃) (1 - P₄)… (1 - P_n))

维恩图

下面显示了事件 A 和 B 的维恩图

如果事件 A 和 B 是独立的，则

P(A∩B) = P(A) x P(B)

A∩B 是两个区域 A 和 B 之间的**公共区域**。

A 是区域 A 的面积，包括公共区域

B 是区域 B 的面积，包括公共区域

A∪B 是区域 A 和区域 B 的总面积。

A'∩B 是区域 A 中不包括公共区域的部分的面积

故，

P(A'∩B) = P(A) - P(A∩B)

A∩B' 是区域 B 中不包括公共区域的部分的面积

故，

P(A∩B') = P(B) - P(A∩B)

什么是互斥事件？

互斥事件是指不同时发生的事件。例如，抛硬币和掷骰子。抛硬币时，正面和反面不可能同时出现。同样，掷骰子时，出现数字2、3、4或5也不可能同时发生。每次抛掷或投掷都需要一个单独的结果。独立事件可以有共同的结果，而互斥事件则不能。任何两个互斥事件之间没有共同的区域。

因此，

在独立事件的情况下，

P(A∩B) = P(A) x P(B)

在互斥事件的情况下，

P(A∩B) = 0

示例

让我们根据概率中的独立事件举一些例子。

示例 1：从一副 52 张牌中连续抽出两张牌。求第一张是皇后，第二张是国王的几率，如果第一张牌（a）已放回，（b）未放回。

解决方案

总牌数 = 52

皇后牌总数 = 4

国王牌总数 = 4

从 52 张牌中抽到一张皇后的概率

= 4/52

= 1/13

从 52 张牌中抽到一张国王的概率

= 4/52

= 1/13

a) 第一张是皇后的概率 = 4/52 = 1/13

由于牌已放回，下一张牌将仅从 52 张牌中抽取。

第二张是国王的概率 = 4/52 = 1/13

第一张是皇后且第二张是国王的概率 = (第一张是皇后的概率) × (第二张是国王的概率)

= 1/13 × 1/13

= 1/169

b) 第一张是皇后的概率 = 4/52 = 1/13

由于牌未放回，下一张牌将仅从 51 张牌中抽取。

第二张是国王的概率 = 4/51

第一张是皇后且第二张是国王的概率 = (第一张是皇后的概率) × (第二张是国王的概率)

= 1/13 × 4/51

= 4/663

示例 2：从一副 52 张牌中连续抽出两张牌。如果第一张牌已放回，则求第一张是红心，第二张是梅花的几率。

解决方案

总牌数 = 52

红心牌总数 = 13

梅花牌总数 = 13

从 52 张牌中抽到一张红心的概率

= 13/52

= 1/4

从 52 张牌中抽到一张梅花的概率

= 13/52

= 1/4

第一张是红心且第二张是梅花的概率 = (第一张是红心的概率) × (第二张是梅花的概率)

= 1/4 × 1/4

= 1/16

示例 3：从一副 52 张牌中连续抽出两张牌。如果第一张牌已放回，则求第一张是杰克，第二张不是杰克的几率。

解决方案:

总牌数 = 52

杰克牌总数 = 4

从 52 张牌中抽到一张杰克的概率

= 4/52

= 1/13

第二张牌不是杰克的概率

= 1 - (抽到一张杰克的概率)

= 1 - 1/4

= 3/4

第一张是杰克且第二张不是杰克的概率为

= 1/4 × 3/4

= 3/16

示例 4：连续两次抛掷一对骰子。求得分 8 点的概率：（a）一次（b）至少一次（c）两次。

解决方案：抛掷一对骰子两次的总可能结果数 = 36

总和为 8 的情况有：(2, 6), (6, 2), (5, 3), (3, 5), (4, 4)

= 5 种方式

得到 8 点的概率 = 5/36

得不到总和 8 的概率 = (1 - 5/36)

= 31/36

a) 得到 8 点一次有两种情况。第一种情况是第一次抛掷得到 8 点的几率，第二种情况是第二次抛掷得到 8 点的几率。

得到 8 点一次的概率 = (第一次抛掷得到 8 点的概率) × (第二次未得到 8 点的概率)

= 5/36 × 31/36

= 155/ 1296

得到 8 点一次的概率 = (第一次未得到 8 点的概率) × (第二次得到 8 点的概率)

= 31/36 × 5/36

= 155/ 1296

由于这两种情况是互斥事件，因此适用概率的加法法则。

= 155/ 1296 + 155/ 1296

= 310/1296

= 155/648

b) 至少得到 8 点一次的概率 = 1 - (两次抛掷均未得到 8 点的概率)

两次抛掷均未得到 8 点的概率 = 31/36 × 31/36

= 961/1296

至少得到 8 点一次的概率 = (1 - 961/1296)

= 335/1296

或

至少得到 8 点一次的概率 = 得到 8 点一次的概率 + 得到 8 点两次的概率

= 310/1296 + 25/1296

= 335/1296

c) 得到 8 点两次的概率 = (第一次抛掷得到 8 点的概率) × (第二次抛掷得到 8 点的概率)

= 5/36 × 5/36

= 25 / 1296

示例 5：连续三次抛掷一对骰子。求两次得到 15 点的概率。

解决方案：三次抛掷一对骰子的总可能结果数 = 216

总和为 15 的情况有：(6, 6, 3), (3, 6, 6), (6, 3, 6), (5, 5, 5), (5, 6, 4), (6, 5, 4), (4, 5, 6), (4, 6, 5), (5, 4, 6), (6, 4, 5)

= 10 种方式

得到 15 点的概率 = 10/216

得不到总和 15 的概率 = (1 - 10/216)

= 206/216

得到 15 点两次的概率 = (第一次抛掷得到 15 点的概率) × (第二次抛掷得到 15 点的概率)

= 10/216 × 10/216

= 100/46656

= 25/11664

示例 6：设 A 和 B 是两个独立事件，使得 P(A) = 0.5 且 P(B) = 0.8。求 P(A 或 B)、P(A 和 B)、P(A 非 B)、P(B 非 A) 以及 P(既非 A 也非 B)。

解决方案

已知：P(A) = 0.5

P (B) = 0.8

待求：P (A∪B)、P(A∩B)、P(A∩B')、P(B∩A') 以及 P(A'∩B')

由于给定的两个事件是独立的，我们将使用类似的公式。

P(A∩B) = P(A) x P(B)

P(A∩B) = 0.5 × 0.8

P(A∩B) = 0.4

P (A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

P (A∪B) = 0.5 + 0.8 - 0.4

P (A∪B) = 0.9

P(A∩B') = P(A) - P(A∩B)

P(A∩B') = 0.5 - 0.4

P(A∩B') = 0.1

P(B∩A') = P(B) - P(A∩B)

P(B∩A') = 0.8 - 0.4

P(B∩A') = 0.4

P(A'∩B') = 1 - P (A∪B)

P(A'∩B') = 1 - 0.9

P(A'∩B') = 0.1