离散数学中函数与关系的区别

函数和关系非常相似。要了解函数和关系的区别，我们首先需要了解函数和关系，然后才能了解它们之间的区别。

关系

在离散数学中，关系可以被描述为有序对的集合。它用于将一个集合中的对象与另一个集合相关联，并且这些集合必须是非空的。关系可以包含两个或多个集合。假设有两个集合A和B。集合A包含一个对象a，集合B包含一个对象b。当存在有序对(a, b)的关系时，对象将相互关联。通过笛卡尔积的子集，可以形成关系R。

现在，我们将假设两个任意集合A和B。A和B的笛卡尔积可以描述为有序对(a, b)的集合，其中a ∈ A且b ∈ B。A和B的乘积表示为A x B。根据定义，我们将得到以下内容：

笛卡尔积可以处理有序对，因此注意考虑集合的顺序很重要。现在我们将使用n(A)来表示集合A中的元素数量，如下所示：

关系类型

在离散数学中，关系可以有多种类型，我们将根据集合之间的连接来区分它们。

空关系

如果集合中的元素彼此之间没有关系，则该关系称为空关系。空关系描述如下：

全集关系

在这种关系中，集合A的每个元素都与集合B的每个元素相关联。因此，这种关系也称为全集关系，全集关系和空关系也称为平凡关系。

恒等关系

在恒等关系中，A的每个元素仅与其自身相关联。恒等关系描述如下：

逆关系

假设有两个集合A和B，它们之间存在从A到B的关系。该关系将描述为R∈ A × B。通过将集合中每个对的第一个元素替换为第二个元素，可以获得逆关系。逆关系描述如下：

自反关系

如果集合A的每个元素都与其自身相关联，则该关系称为自反关系。自反的含义是，在集合中，每个元素的像都有自己的反射。

对称关系

假设集合A中有两个元素，即a、b。如果集合A上的关系R为对称关系，则当元素'a'与'b'的关系为真时，'b'与'a'的关系也为真。对称关系描述如下：

传递关系

假设集合A中有三个元素，即a、b和c。如果集合A上的关系R为传递关系，则当'a'与'b'的关系为真且'b'与'c'的关系为真时，'a'也与'c'的关系为真。传递关系描述如下：

等价关系

如果一个关系满足对称、传递和自反的性质，则称其为等价关系。

注意：并非所有关系都是函数，但所有函数都是关系。

关系示例

我们将举一个现实生活中的例子来更好地理解关系的概念。假设我们要制作一条毯子。为此，我们需要织物，这将有助于制作毯子。我们将通过缝合布料的样片来制作毯子。对于布料，我们会去商店看看样片上的促销活动。我们不知道需要购买多少布料，一个、两个或三个，在不知道的情况下，我们以4.00美元的价格购买了三块样片。之后，如果我们想购买样片，每块样片需额外花费2.00美元。我们购买的样片数量和花费的金额是相互关联的。这可以称为关系的一个例子。

关系中有两组元素，称为输入和输出，它们以某种方式相互关联。在我们的例子中，输入将被描述为成本，输出将被描述为样片数量。关系也可以用有序对的形式表示，如下所示：

这意味着当我们有4作为上述关系中的输入时，我们有1、2或3作为输出。这种关系表明，如果我们花费4美元，我们可以得到1、2或3块布料样片。同样，如果我们花费8美元购买样片，我们将获得5块样片。

函数

输入元素集合与输出元素集合相关联，这种关系称为函数。在函数中，集合A中的每个元素都只有一个输出元素在集合B中。例如：假设有两个集合：集合A和集合B。这两个集合通过某种方式相互连接，即给定的集合A中的元素与给定的集合B中的一个元素相关联，或者集合A中的所有元素都只与集合B中的一个元素相关联。因此，我们可以说这种类型的关系是函数。使用这个例子，我们已经清楚，函数中的集合A和集合B不能存在一对多关系。为了量化为函数，我们需要满足两个条件，它们描述如下：

• 第一个条件是，A中的每个元素a ∈ A都必须与B中的元素b ∈ B相关联。这意味着函数f的定义域必须是A，而不是A的子集。
• 第二个条件是，需要唯一性，它将如下表示：

函数的类型

在离散数学中，函数可以有多种类型。在这里，我们将根据关系来描述函数，如下所示：

一对一函数

一对一函数也称为单射函数。如果定义域集合的一个元素与共域集合的一个元素相关联，则该函数称为一对一函数。我们也可以写成1-1。在一对一函数中，答案永远不会重复。

在上图中，我们有两个集合：集合A和集合B。定义域由集合A描述，共域B由集合B描述。在这里，我们可以看到图中1和2的集合A中的每个元素都与集合B中的一个唯一元素相关联。在图1中，X与4相关联，Y与5相关联，Z与2相关联，W与6相关联。图2也发生同样的情况。因此，该函数称为一对一。

示例 1

在这里，我们将假设有一个函数f(x) = x - 4。证明该函数是一对一函数或不是。

解决方案

如果x = 1，则f(1) = -3

如果x = 5，则f(5) = 2

如果x = 7，则f(7) = 3

如果x = 19，则f(19) = 15

在这里，我们可以看到给定的函数为每个输入值生成不同的输出。因此，函数f(x) = x - 4可以称为一对一函数。

示例 2

在这里，我们将假设有一个函数f(x) = x²。证明该函数是一对一函数或不是。

解决方案

如果x = 3，则f(3) = 6

如果x = -3，则f(-3) = 6

在这里，我们可以看到给定的函数为3和-3的值生成相同的答案6。因此，函数f(x) = x²不能称为一对一函数。

多对一函数

如果定义域集合的多个元素与共域集合的同一个元素相关联，则该函数称为多对一函数。这意味着共域的单个元素可以与定义域的多个元素相关联。多对一函数总是包含重复的答案。

在上图中，我们有两个集合：集合A和集合B。定义域由集合A描述，共域由集合B描述。此图显示集合A的多个元素映射到集合B的单个元素。元素1、2和3与同一个元素X相关联。因此，该函数是多对一的。

示例

我们将假设有一个函数f(x) = x²。证明该函数是多对一函数或不是。

解决方案

如果x = 2，则f(2) = 4

如果x = -2，则f(-2) = 4

在这里，我们可以看到给定的函数为2和-2的值生成相同的答案4。因此，我们可以说函数f(x) = x²是多对一函数，因为对于不同的值，该函数会生成相同的答案。

满射函数

满射函数也称为主射函数。如果共域集合的每个元素至少与定义域集合的一个或多个元素相关联，则该函数称为满射函数。

在上图中，我们有两个集合：集合A和集合B。在这里，我们可以看到集合B中的每个元素都映射到集合A中的至少一个元素。集合A中的元素X和Y与集合B中的元素1相关联，Z与2相关联，W与3相关联。因此，上述函数是满射。

在此图中，我们再次有两个集合。在这里，我们可以看到集合B中的一个元素没有与集合A中的任何元素相关联。与上图相同，元素X和Y与1相关联，Z与2相关联，W与3相关联，但是集合B中的元素4与集合A没有关联。因此，我们可以说上述函数不是满射。

示例

假设有一个函数f，它包含两个集合A和B。其中A = {2, 5, 7, 8}，B = {4, 9}，f = {(2, 4), (5, 9), (7, 4), (8, 9)}。现在证明该函数是满射函数。

解决方案

所以从问题中我们有：

A = {2, 5, 7, 8}

B = {4, 9}

f = {(2, 4), (5, 9), (7, 4), (8, 9)}

因此，集合B中的所有元素都有集合A中的定义域元素。这意味着集合A中的元素2、5、7和8分别与集合B中的元素4和9具有相同的映射。因此，我们可以说函数f: A → B是满射函数。

一对一对应函数

一对一对应函数也称为双射函数。该函数是单射函数（一对一函数）和满射函数（ onto 函数）的组合。如果定义域集合的每个元素都与共域集合的唯一一个元素相关联，反之亦然，则该函数称为一对一对应函数。在双射函数中，从集合A到集合B，存在从集合B到集合A的逆函数。在双射函数中，集合的每个元素都与其自身相关联。

上图显示共域（集合B）的每个元素都与定义域（集合A）的独立元素相关联。元素X与元素1相关联，Y与2相关联，Z与3相关联，W与4相关联。因此，上述函数是一对一对应。

上图显示该函数不是一对一对应，因为集合B中的某些元素在图1中没有与集合A中的元素相关联。集合B中的元素3没有与集合A中的任何元素相关联。在图2和图3中，集合A中的多个元素与集合B中的一个元素相关联。元素Y、Z在图2中具有相同的值2。与图3相同，元素Z、W具有相同的值3。因此，我们可以说上述函数不是双射函数。

双射函数需要满足四个条件：

• 集合A的每个元素都将与集合B的元素相关联。
• 在集合A上，该元素只能与集合B的一个元素配对。
• 集合B的每个元素都将与集合A的元素相关联。
• 在集合B上，该元素只能与集合A的一个元素相关联。

双射函数的性质

双射函数有很多性质，如下所述：

• 在双射函数中，定义域和共域集合中的元素数量相同。
• 双射函数的共域和值域之间将存在相同的值。
• 双射函数将存在逆函数。
• 常数函数和双射函数不能相同。
• 如果一个图用双射函数表示，那么它将始终是一条直线。
• 双射函数遵循许多性质，例如对称、传递和自反。

示例

假设有一个函数f，它包含两个集合A和B。其中A = {2, 3, 4, 5}，B = {u, v, x, y}，f: A → B。现在证明该函数是双射函数。

解决方案

为此：

f(2) = u

f(3) = x

f(4) = v

f(5) = y

因此，函数f既是满射也是一对一的。因此，该函数是双射函数。

其他类型的函数

还有许多其他类型的函数，如下所述：

常数函数：常数函数可以写成f(x) = c。

反函数：反函数可以写成f^-1(x)。

绝对值函数：绝对值函数可以写成f(x) = |x|。

恒等函数：恒等函数可以写成f(x) = x。

线性函数：线性函数可以写成f(x) = mx + c。

函数示例

与关系示例相同，在此示例中，我们将再次制作一条毯子。但这次，当我们去商店购买样片时，那天商店没有打折。因此，样片的成本为每块2美元。因此，输入和输出之间的关系将有所不同。此关系也可以用有序对的形式表示，如下所示：

在我们的例子中，输入也被描述为成本，输出也被描述为样片数量，就像关系示例一样。然而，这种关系称为一种特殊的关系。此示例与我们在关系中描述的示例之间存在主要区别，我们可以通过关系中的前三个有序对来解释。

当样片有促销时，我们发现前三个有序对在第一个关系中具有相同的输入和不同的输出。但是，如果我们考虑没有促销时的这种关系，我们会发现每个输入只有一个输出。在这种情况下，当一个输入只有一个输出时，该关系称为函数。因此，通过这个例子，我们可以说我们购买的样片数量是成本的函数。

函数与关系的区别

关系和函数都是不同的概念。关系不能是函数，但所有函数都是关系。关系和函数之间存在主要区别，即关系可以为至少一个输入生成多个输出，但在函数的情况下，它只能为每个输入生成一个输出。这个因素是区分它们的基础。例如：在这里，我们将假设有一个学生在数学课上收集了一些数据。数据表描述如下：

在上表中，我们可以看到有两个地方对于一个输入（5）有多个输出（12, 72）。

因此，上述有序对集合显示了一个关系，它不是一个函数。

关系可以描述为有序对元素的集合，它可以被称为二元关系或二进关系。关系也是笛卡尔积的子集。为了形成模型概念，关系被使用。关系为我们提供了“等于”、“大于”或“整除”等意义。

函数可以描述为有序三元组集合，包含A、B和F。其中A用于表示定义域，B用于表示共域，F用于表示有序对的集合。每个有序对的第一个元素来自集合A，该有序对的第二个元素来自共域（集合B），并遵循必要的条件。函数不包含一对多关系，这意味着一个对象不能与多个对象相关联。函数包含多对一关系，这意味着多个对象可以与一个对象相关联。

定义域和共域都包含实数集。项目之间的属性将通过关系显示。这里有些事物以某种方式联系在一起。这就是为什么它被称为“关系”。这并不意味着我们没有任何中间概念可以用来区分函数和关系。

一个对象可以是一个函数，它接受两个参数值的混合，并生成一个单一的输出。关系和函数还有一个区别，即函数必须包含一个定义域，该定义域从两个或多个集合的笛卡尔积产生结果，但关系不一定产生相同的东西。函数中两个给定集合的每个输入将只生成一个输出。输入元素和输出元素之间的关系将用关系来表示。

我们已经听过“并非所有关系都是函数，但所有函数都是关系”这句话。但现在我们将详细地这样描述：

函数可以描述为一对有序对，它为每个a的值生成一个b的值。关系可以描述为任何有序对的集合。假设有一个有序对的集合（关系），并且对于每个a都有一个b的值。在这种情况下，该关系是一个函数。因此，我们可以说函数是一个有序对的集合，它为每个a的值生成一个b的值。如果存在一种情况，即对于每个a只有一个b的值，那么该关系总是可以是一个函数。

与此相反，如果（关系）有序对集合对于一个输入（a）包含多个输出（b），在这种情况下，该关系就不是函数。这将证明“并非所有关系都是函数”的第二句话是正确的。我们还将通过以下示例证明这两个陈述。在第一个示例中，表格用于描述一个函数关系。在第二个示例中，表格用于描述一个不是函数的关​​系。在第三个示例中，我们需要确定给定的关系是否是函数。

示例1：一个函数关系描述如下：

在这里，对于A的每个值，都有一个B的值。这意味着0包含0，1包含1，2包含2，3包含3。因此，该关系是一个函数。

示例2：一个不是函数的关​​系描述如下：

在这里，对于A的输入值，有多个B的值。这意味着对于值2，有值2和1。因此，该关系不是函数。

示例3：我们需要确定以下关系是否是函数。

在上表中，集合A的每个值都包含集合B的单个值。因此，上述关系是一个函数。